07 1+1 = 2吗？ - 二进制的计算 Hello, 大家好，希望上一节课的基础，大家都已经掌握了。那我们就来继续这一小节的学习，来看一下1+1=2这一道永远的难题。

二进制的运算 - 加法和减法

加法

加法从基础来说，和普通数字的加法也没有什么太大的区别。加法都是从右向左，一次一个数。在每一个点上，都会生成一个和的数字以及一个要进位的数字。当然我们这里不是每到9才产生一个进位，而是每到2就会产生一个进位。那我们现在来做一道小小的加法11 + 3 = ？你肯定知道是14吧。哈哈。那让我们来看一下在二进制里是怎么做呢？ 11 的二进制表达式 -> 01011 3 的二进制表达式 -> 00011 相加的结果 -> 01110 复制

01110 = 什么呢？ 1 /* 8 + 1 /* 4 + 1 /* 2 = 14。我们来验证一下上面的加法，从右向左，1+1是不是要进位所以最右是一个0，然后第二位有三个1，那就留下一个1，在进位1个1，就成为了10，然后1+0等于1 - > 110，之后又是一个1 + 0 = 1，所以结果就是1110了，是不是很简单。

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减法

下面我们再来看一下减法，减法实际上就是加法的变种，只不过就是A + （-B）。好，我们来看一下这个例子14 - 9。在这里我们要插播一下补码和反码的小知识（要不然你完全无法理解-9是怎么用二进制来表示）。

小知识课堂

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原码

什么叫原码？可能提到原码你能想到的是底层源码，比如java的源码是什么？spring的源码是什么？但是因为我们中文的博大精深，所以会造成这个误解，但是你看字的话，很明显有不同是不是。那这里的原码是指什么呢？话语千遍不如一个实例。 对于正数来说，原码就是自己，比如 我们来用9来作为实例。00000000 00000000 00000000 00001001是9的原码 那-9的原码呢？其实就是在最高位加一个1。 这里1表示负数，0表示正数 100000000 00000000 00000000 00001001是-9的原码 复制

这里的最高位是你自己来选择是作为数值还是作为符号，比如一个byte类型的话，有8个字节。0000 0000，如果不使用符号位的话，数值就是从0到255，0就是0000 0000，255就是1111 1111。如果使用符号位的话范围就是-127 到 127。1111 1111 因为第一位是符号位，所以表示负数，然后后面的7个1表示127，所以值是-127。然后0111 1111也就是正数的最大位，等于127。所以范围就是-127到127。

我相信聪明的你这时候会有一个疑问，为什么负数不能直接用原码，而有什么之后要讨论的反码，补码？

那是因为原码有它的弱点

  • 首先0是两个，那就是会有两个0,也就是+0和-0（00000000和10000000）

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  • 当要进行异号相加或同号相减时,方法比较笨拙- 先要判断2个数的绝对值大小，然后进行加减操作，最后运算结果的符号还要与大的符号相同。于是,反码产生了。（每一个概念的出现都是为了解决一个问题，对不对）

反码

反码也是属于数值存储的一种，多应用于系统环境设置，如linux平台的目录和文件的默认权限的设置umask，就是使用反码原理。在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码。 对于正数来说，反码与原码相同（正数是多么善良和正义的存在）。 负数的反码是对该数的原码各位取反（符号位除外）。比如 100000000 00000000 00000000 00001001 的反码 111111111 11111111 11111111 11110110 复制

因为反码 还是有+0和-0这个问题。但是不修改的话，就会被时代所淘汰，反码就成为了过滤产物,也就是, 后来补码出现了。

补码

首先是谁也不怎么认真读的概念：补码表示统一的符号位和数值位，使得符号位可以和数值位一起直接参与运算，这也为后面设计乘法器除法器等运算器件提供了极大的方便。 对于正数来说，补码与原码相同（正数才是正道的光）。 负数的补码是对该数的原码各位取反（符号位除外）。然后在最后一位加1。比如 100000000 00000000 00000000 00001001 的补码加一之前是 111111111 11111111 11111111 11110110 然后再加上一 111111111 11111111 11111111 11110111 复制

好，现在让我们再回归到上面讲的那个减法。我们的例子是14 - 9。好，现在让我们来分析以下。

14是一个正数，所以基本上不太会有任何的trick。 00000000 00001110 下面让我们来分析一下-9。 首先是9 -> 00000000 00001001 -9 10000000 00001001 反码 11111111 11110110 补码 11111111 11110111 +00000000 00001110 （这个是之前的14） 00000000 00000101 （这个是最后的结果）。不用我说，你也能算出来结果是5吧。 复制

所以我们做减法的顺序是

  • 把要减的数的正数算出来
  • 把第一个最高位变成符号位1
  • 把这个数的反码写出来
  • 把这个数的补码写出来
  • 把这个补码和之前的正数进行相加。
  • 最后的结果就是相减的结果

希望你读到这里，头还没有晕

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二进制的运算 - 逻辑计算

AND运算

AND是二进制的逻辑运算法，这意味着它需要两个输入的数值。也可以认为AND需要两个来源。它的运算很简单。基本的原则是 A B AND 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 复制

从上图你可以看出，只有A和B同时都是1的时候，AND的结果才是1。你可以把它想象成一个串行电路。一前一后两个电路。只有两个电路同时通的时候，整体才会通电，有任何一个不能通电的话，那就不成功。虽然很简单还是给你们一个例子吧。我要做一个严谨的人。

00111010 01101001 A 01011001 00100001 B 00011000 00100001 And之后的结果 复制

OR运算

OR是二进制的另一个重要的逻辑运算法，它的需求和AND一样需要两个输入的数值。它的运算也很简单。基本的原则是 A B OR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 复制

从上图你可以看出，只要A和B任意一个是1的时候，OR的结果就是是1。你可以把它想象成一个并行电路。上下两个电路。只要有一个电路通的时候，整体就会通电，只有两个都不通电的时候，才会不成功。同样是一个小例子

00111010 01101001 A 01011001 00100001 B 01111011 01101001 OR之后的结果 复制

NOT运算

OR是二进制的另一个重要的逻辑运算法，它只需要一个输入就可 A NOT 0 1 1 0 复制

Exclusive-OR运算

Exclusive-OR通常也简写成XOR。当然它也是一个逻辑运算符。同样需要两个输入。当然它的结果可能是有一点和你平时的计算不同。只有当两个输入不同的时候才会是1。相同的话就会是0。 A B XOR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 复制

这几种逻辑运算符中最最复杂的可能就是这个。我们还是看一个小案例

00111010 01101001 A 01011001 00100001 B 01100011 01001000 XOR之后的结果 复制

其实这一小节还是属于基础，只不过不是二进制的基础，而是二进制计算的基础。我们讲了原码，反码和补码，加法减法以及逻辑运算。小朋友，你是不是有很多问号？你的小脑瓜一定在想这些有什么用？我可以负责任的告诉你。IP的计算会用到。电路的计算会用到。因为二进制归根到底就是电流。那个就有点扯远了。还有一个最重要的就是算法的考试和面试也会问到。而往往二进制的算法题不长，但是不练习或者不知道基础的你往往想不到。我们下一节来看一下16进制，然后我会给你们举一些面试的时候会问到问题。

参考资料

https://learn.lianglianglee.com/%e4%b8%93%e6%a0%8f/%e5%85%a8%e8%a7%a3%e7%bd%91%e7%bb%9c%e5%8d%8f%e8%ae%ae/07%201+1%20=%202%e5%90%97%ef%bc%9f%20-%20%e4%ba%8c%e8%bf%9b%e5%88%b6%e7%9a%84%e8%ae%a1%e7%ae%97.md