03 迭代法：不用编程语言的自带函数，你会如何计算平方根？ 你好，我是黄申。

今天我们来说一个和编程结合得非常紧密的数学概念。在解释这个重要的概念之前，我们先来看个有趣的小故事。 古印度国王舍罕酷爱下棋，他打算重赏国际象棋的发明人宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣指着象棋盘对国王说：“陛下，我不要别的赏赐，请您在这张棋盘的第一个小格内放入一粒麦子，在第二个小格内放入两粒，第三小格内放入四粒，以此类推，每一小格内都比前一小格加一倍的麦子，直至放满64个格子，然后将棋盘上所有的麦粒都赏给您的仆人我吧！”

国王自以为小事一桩，痛快地答应了。可是，当开始放麦粒之后，国王发现，还没放到第二十格，一袋麦子已经空了。随着，一袋又一袋的麦子被放入棋盘的格子里，国王很快看出来，即便拿来全印度的粮食，也兑现不了对达依尔的诺言。

放满这64格到底需要多少粒麦子呢？这是个相当相当大的数字，想要手动算出结果并不容易。如果你觉得自己非常厉害，可以试着拿笔算算。其实，这整个算麦粒的过程，在数学上，是有对应方法的，这也正是我们今天要讲的概念：迭代法（Iterative Method）。

到底什么是迭代法？

迭代法，简单来说，其实就是不断地用旧的变量值，递推计算新的变量值。

我这么说可能还是有一点抽象，不容易理解。我们还回到刚才的故事。大臣要求每一格的麦子都是前一格的两倍，那么前一格里麦子的数量就是旧的变量值，我们可以先记作(X_{n-1})；而当前格子里麦子的数量就是新的变量值，我们记作(X_{n})。这两个变量的递推关系就是这样的：

如果你稍微有点编程经验，应该能发现，迭代法的思想，很容易通过计算机语言中的循环语言来实现。你知道，计算机本身就适合做重复性的工作，我们可以通过循环语句，让计算机重复执行迭代中的递推步骤，然后推导出变量的最终值。

那接下来，我们就用循环语句来算算，填满格子到底需要多少粒麦子。我简单用Java语言写了个程序，你可以看看。 public class Lesson3_1 { /// /* @Description: 算算舍罕王给了多少粒麦子 /* @param grid-放到第几格 /* @return long-麦粒的总数 // public static long getNumberOfWheat(int grid) { long sum = 0; // 麦粒总数 long numberOfWheatInGrid = 0; // 当前格子里麦粒的数量 numberOfWheatInGrid = 1; // 第一个格子里麦粒的数量 sum += numberOfWheatInGrid; for (int i = 2; i <= grid; i ++) { numberOfWheatInGrid /= 2; // 当前格子里麦粒的数量是前一格的2倍 sum += numberOfWheatInGrid; // 累计麦粒总数 } return sum; } }

下面是一段测试代码，它计算了到第63格时，总共需要多少麦粒。

public static void main(String[] args) { System.out.println(String.format(“舍罕王给了这么多粒：%d”, Lesson3_1.getNumberOfWheat(63))); }

计算的结果是9223372036854775807，多到数不清了。我大致估算了一下，一袋50斤的麦子估计有130万粒麦子，那么9223372036854775807相当于70949亿袋50斤的麦子！

这段代码有两个地方需要注意。首先，用于计算每格麦粒数的变量以及总麦粒数的变量都是Java中的long型，这是因为计算的结果实在是太大了，超出了Java int型的范围；第二，我们只计算到了第63格，这是因为计算到第64格之后，总数已经超过Java中long型的范围。

迭代法有什么具体应用？

看到这里，你可能大概已经理解迭代法的核心理念了。迭代法无论是在数学，还是计算机领域都有很广泛的应用。大体上，迭代法可以运用在以下几个方面：

  • 求数值的精确或者近似解。典型的方法包括二分法（Bisection method）和牛顿迭代法（Newton’s method）。
  • 在一定范围内查找目标值。典型的方法包括二分查找。
  • 机器学习算法中的迭代。相关的算法或者模型有很多，比如K-均值算法（K-means clustering）、PageRank的马尔科夫链（Markov chain）、梯度下降法（Gradient descent）等等。迭代法之所以在机器学习中有广泛的应用，是因为很多时候机器学习的过程，就是根据已知的数据和一定的假设，求一个局部最优解。而迭代法可以帮助学习算法逐步搜索，直至发现这种解。

这里，我详细讲解一下求数值的解和查找匹配记录这两个应用。

1.求方程的精确或者近似解

迭代法在数学和编程的应用有很多，如果只能用来计算庞大的数字，那就太“暴殄天物”了。迭代还可以帮助我们进行无穷次地逼近，求得方程的精确或者近似解。

比如说，我们想计算某个给定正整数n（n>1）的平方根，如果不使用编程语言自带的函数，你会如何来实现呢？

假设有正整数n，这个平方根一定小于n本身，并且大于1。那么这个问题就转换成，在1到n之间，找一个数字等于n的平方根。

我这里采用迭代中常见的二分法。每次查看区间内的中间值，检验它是否符合标准。

举个例子，假如我们要找到10的平方根。我们需要先看1到10的中间数值，也就是11/2=5.5。5.5的平方是大于10的，所以我们要一个更小的数值，就看5.5和1之间的3.25。由于3.25的平方也是大于10的，继续查看3.25和1之间的数值，也就是2.125。这时，2.125的平方小于10了，所以看2.125和3.25之间的值，一直继续下去，直到发现某个数的平方正好是10。

我把具体的步骤画成了一张图，你可以看看。

我这里用Java代码演示一下效果，你可以结合上面的讲解，来理解迭代的过程。 public class Lesson3_2 { /// /* @Description: 计算大于1的正整数之平方根 /* @param n-待求的数, deltaThreshold-误差的阈值, maxTry-二分查找的最大次数 /* @return double-平方根的解 // public static double getSqureRoot(int n, double deltaThreshold, int maxTry) { if (n <= 1) { return -1.0; } double min = 1.0, max = (double)n; for (int i = 0; i < maxTry; i++) { double middle = (min + max) / 2; double square = middle / middle; double delta = Math.abs((square / n) - 1); if (delta <= deltaThreshold) { return middle; } else { if (square > n) { max = middle; } else { min = middle; } } } return -2.0; } }

这是一段测试代码，我们用它来找正整数10的平方根。如果找不到精确解，我们就返回一个近似解。

public static void main(String[] args) { int number = 10; double squareRoot = Lesson3_2.getSqureRoot(number, 0.000001, 10000); if (squareRoot == -1.0) { System.out.println(“请输入大于1的整数”); } else if (squareRoot == -2.0) { System.out.println(“未能找到解”); } else { System.out.println(String.format(“%d的平方根是%f”, number, squareRoot)); } }

这段代码的实现思想就是我前面讲的迭代过程，这里面有两个小细节我解释下。

第一，我使用了deltaThreshold来控制解的精度。虽然理论上来说，可以通过二分的无限次迭代求得精确解，但是考虑到实际应用中耗费的大量时间和计算资源，绝大部分情况下，我们并不需要完全精确的数据。

第二，我使用了maxTry来控制循环的次数。之所以没有使用while(true)循环，是为了避免死循环。虽然，在这里使用deltaThreshold，理论上是不会陷入死循环的，但是出于良好的编程习惯，我们还是尽量避免产生的可能性。

说完了二分迭代法，我这里再简单提一下牛顿迭代法。这是牛顿在17世纪提出的一种方法，用于求方程的近似解。这种方法以微分为基础，每次迭代的时候，它都会去找到比上一个值(x_{0})更接近的方程的根，最终找到近似解。该方法及其延伸也被应用在机器学习的算法中，在之后机器学习中的应用中，我会具体介绍这个算法。

2.查找匹配记录

二分法中的迭代式逼近，不仅可以帮我们求得近似解，还可以帮助我们查找匹配的记录。我这里用一个查字典的案例来说明。

在自然语言处理中，我们经常要处理同义词或者近义词的扩展。这时，你手头上会有一个同义词/近义词的词典。对于一个待查找的单词，我们需要在字典中先找出这个单词，以及它所对应的同义词和近义词，然后进行扩展。比如说，这个字典里有一个关于“西红柿”的词条，其同义词包括了“番茄”和“tomato”。

那么，在处理文章的时候，当我们看到了“西红柿”这个词，就去字典里查一把，拿出“番茄”“tomato”等等，并添加到文章中作为同义词/近义词的扩展。这样的话，用户在搜索“西红柿”这个词的时候，我们就能确保出现“番茄”或者“tomato”的文章会被返回给用户。

乍一看到这个任务的时候，你也许想到了哈希表。没错，哈希表是个好方法。不过，如果不使用哈希表，你还有什么其他方法呢？这里，我来介绍一下，用二分查找法进行字典查询的思路。

第一步，将整个字典先进行排序（假设从小到大）。二分法中很关键的前提条件是，所查找的区间是有序的。这样才能在每次折半的时候，确定被查找的对象属于左半边还是右半边。

第二步，使用二分法逐步定位到被查找的单词。每次迭代的时候，都找到被搜索区间的中间点，看看这个点上的单词，是否和待查单词一致。如果一致就返回；如果不一致，要看被查单词比中间点上的单词是小还是大。如果小，那说明被查的单词如果存在字典中，那一定在左半边；否则就在右半边。

第三步，根据第二步的判断，选择左半边或者后半边，继续迭代式地查找，直到范围缩小到单个的词。如果到最终仍然无法找到，则返回不存在。

当然，你也可以对单词进行从大到小的排序，如果是那样，在第二步的判断就需要相应地修改一下。

我把在a到g的7个字符中查找f的过程，画成了一张图，你可以看看。

这个方法的整体思路和二分法求解平方根是一致的，主要区别有两个方面：第一，每次判断是否终结迭代的条件不同。求平方根的时候，我们需要判断某个数的平方是否和输入的数据一致。而这里，我们需要判断字典中某个单词是否和待查的单词相同。第二，二分查找需要确保被搜索的空间是有序的。

我把具体的代码写出来了，你可以看一下。 import java.util.Arrays; public class Lesson3_3 { /// /* @Description: 查找某个单词是否在字典里出现 /* @param dictionary-排序后的字典, wordToFind-待查的单词 /* @return boolean-是否发现待查的单词 /*/ public static boolean search(String[] dictionary, String wordToFind) { if (dictionary == null) { return false; } if (dictionary.length == 0) { return false; } int left = 0, right = dictionary.length - 1; while (left <= right) { int middle = (left + right) / 2; if (dictionary[middle].equals(wordToFind)) { return true; } else { if (dictionary[middle].compareTo(wordToFind) > 0) { right = middle - 1; } else { left = middle + 1; } } } return false; } }

我测试代码首先建立了一个非常简单的字典，然后使用二分查找法在这个字典中查找单词“i”。

public static void main(String[] args) { String[] dictionary = {“i”, “am”, “one”, “of”, “the”, “authors”, “in”, “geekbang”}; Arrays.sort(dictionary); String wordToFind = “i”; boolean found = Lesson3_3.search(dictionary, wordToFind); if (found) { System.out.println(String.format(“找到了单词%s”, wordToFind)); } else { System.out.println(String.format(“未能找到单词%s”, wordToFind)); } }

说的这两个例子，都属于迭代法中的二分法，我在第一节的时候说过，二分法其实也体现了二进制的思想。

小结

到这里，我想你对迭代的核心思路有了比较深入的理解。

实际上，人类并不擅长重复性的劳动，而计算机却很适合做这种事。这也是为什么，以重复为特点的迭代法在编程中有着广泛的应用。不过，日常的实际项目可能并没有体现出明显的重复性，以至于让我们很容易就忽视了迭代法的使用。所以，你要多观察问题的现象，思考其本质，看看不断更新变量值或者缩小搜索的区间范围，是否可以获得最终的解（或近似解、局部最优解），如果是，那么你就可以尝试迭代法。

思考题

在你曾经做过的项目中，是否使用过迭代法？如果有，你觉得迭代法最大的特点是什么？如果还没用过，你想想看现在的项目中是否有可以使用的地方？

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参考资料

https://learn.lianglianglee.com/%e4%b8%93%e6%a0%8f/%e7%a8%8b%e5%ba%8f%e5%91%98%e7%9a%84%e6%95%b0%e5%ad%a6%e5%9f%ba%e7%a1%80%e8%af%be/03%20%e8%bf%ad%e4%bb%a3%e6%b3%95%ef%bc%9a%e4%b8%8d%e7%94%a8%e7%bc%96%e7%a8%8b%e8%af%ad%e8%a8%80%e7%9a%84%e8%87%aa%e5%b8%a6%e5%87%bd%e6%95%b0%ef%bc%8c%e4%bd%a0%e4%bc%9a%e5%a6%82%e4%bd%95%e8%ae%a1%e7%ae%97%e5%b9%b3%e6%96%b9%e6%a0%b9%ef%bc%9f.md