06 递归（下）：分而治之，从归并排序到MapReduce 你好，我是黄申。

上一节，我解释了如何使用递归，来处理迭代法中比较复杂的数值计算。说到这里，你可能会问了，有些迭代法并不是简单的数值计算，而要通过迭代的过程进行一定的操作，过程更加复杂，需要考虑很多中间数据的匹配或者保存。例如我们之前介绍的用二分查找进行数据匹配，或者我们今天将要介绍的归并排序中的数据排序等等。那么，这种情况下，还可以用递归吗？具体又该如何来实现呢？

我们可以先分析一下，这些看似很复杂的问题，是否可以简化为某些更小的、更简单的子问题来解决，这是一般思路。如果可以，那就意味着我们仍然可以使用递归的核心思想，将复杂的问题逐步简化成最基本的情况来求解。因此，今天我会从归并排序开始，延伸到多台机器的并行处理，详细讲讲递归思想在“分而治之”这个领域的应用。

归并排序中的分治思想

首先，我们来看，如何使用递归编程解决数字的排序问题。

对一堆杂乱无序的数字，按照从小到大或者从大到小的规则进行排序，这是计算机领域非常经典，也非常流行的问题。小到Excel电子表格，大到搜索引擎，都需要对一堆数字进行排序。因此，计算机领域的前辈们研究排序问题已经很多年了，也提出了许多优秀的算法，比如归并排序、快速排序、堆排序等等。其中，归并排序和快速排序都很好地体现了分治的思想，今天我来说说其中之一的归并排序（merge sort）。

很明显，归并排序算法的核心就是“归并”，也就是把两个有序的数列合并起来，形成一个更大的有序数列。

假设我们需要按照从小到大的顺序，合并两个有序数列A和B。这里我们需要开辟一个新的存储空间C，用于保存合并后的结果。

我们首先比较两个数列的第一个数，如果A数列的第一个数小于B数列的第一个数，那么就先取出A数列的第一个数放入C，并把这个数从A数列里删除。如果是B的第一个数更小，那么就先取出B数列的第一个数放入C，并把它从B数列里删除。

以此类推，直到A和B里所有的数都被取出来并放入C。如果到某一步，A或B数列为空，那直接将另一个数列的数据依次取出放入C就可以了。这种操作，可以保证两个有序的数列A和B合并到C之后，C数列仍然是有序的。

为了你能更好地理解，我举个例子说明一下，这是合并有序数组{1, 2, 5, 8}和{3, 4, 6}的过程。

为了保证得到有序的C数列，我们必须保证参与合并的A和B也是有序的。可是，等待排序的数组一开始都是乱序的，如果无法保证这点，那归并又有什么意义呢？

还记得上一篇说的递归吗？这里我们就可以利用递归的思想，把问题不断简化，也就是把数列不断简化，一直简化到只剩1个数。1个数本身就是有序的，对吧？

好了，现在剩下的疑惑就是，每一次如何简化问题呢？最简单的想法是，我们将长度为n的数列，每次简化为长度为n-1的数列，直至长度为1。不过，这样的处理没有并行性，要进行n-1次的归并操作，效率就会很低。

所以，我们可以在归并排序中引入了分而治之（Divide and Conquer）的思想。分而治之，我们通常简称为分治。它的思想就是，将一个复杂的问题，分解成两个甚至多个规模相同或类似的子问题，然后对这些子问题再进一步细分，直到最后的子问题变得很简单，很容易就能被求解出来，这样这个复杂的问题就求解出来了。

归并排序通过分治的思想，把长度为n的数列，每次简化为两个长度为n/2的数列。这更有利于计算机的并行处理，只需要log2n次归并。

我们把归并和分治的思想结合起来，这其实就是归并排序算法。这种算法每次把数列进行二等分，直到唯一的数字，也就是最基本的有序数列。然后从这些最基本的有序数列开始，两两合并有序的数列，直到所有的数字都参与了归并排序。

我用一个包含0～9这10个数字的数组，给你详细讲解一下归并排序的过程。

  • 假设初始的数组为{7, 6, 2, 4, 1, 9, 3, 8, 0, 5}，我们要对它进行从小到大的排序。
  • 第一次分解后，变成两个数组{7, 6, 2, 4, 1}和{9, 3, 8, 0, 5}。
  • 然后，我们将{7, 6, 2, 4, 1}分解为{7, 6}和{2, 4, 1}，将{9, 3, 8, 0, 5}分解为{9, 3}和{8, 0, 5}。
  • 如果细分后的组仍然多于一个数字，我们就重复上述分解的步骤，直到每个组只包含一个数字。到这里，这些其实都是递归的嵌套调用过程。
  • 然后，我们要开始进行合并了。我们可以将{4, 1}分解为{4}和{1}。现在无法再细分了，我们开始合并。在合并的过程中进行排序，所以合并的结果为{1,4}。合并后的结果将返回当前函数的调用者，这就是函数返回的过程。
  • 重复上述合并的过程，直到完成整个数组的排序，得到{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

为了方便你的理解，我画了张图，给你解释整个归并排序的过程。

说到这里，我想问你，这个归并排序、分治和递归到底是什么关系呢？用一句话简单地说就是，归并排序使用了分治的思想，而这个过程需要使用递归来实现。

归并排序算法用分治的思想把数列不断地简化，直到每个数列仅剩下一个单独的数，然后再使用归并逐步合并有序的数列，从而达到将整个数列进行排序的目的。而这个归并排序，正好可以使用递归的方式来实现。为什么这么说？首先，我们来看看这张图，分治的过程是不是和递归的过程一致呢？

分治的过程可以通过递归来表达，因此，归并排序最直观的实现方式就是递归。所以，我们从递归的步骤出发，来看归并排序如何实现。

我们假设n=k-1的时候，我们已经对较小的两组数进行了排序。那我们只要在n=k的时候，将这两组数合并起来，并且保证合并后的数组仍然是有序的就行了。

所以，在递归的每次嵌套调用中，代码都将一组数分解成更小的两组，然后将这两个小组的排序交给下一次的嵌套调用。而本次调用只需要关心，如何将排好序的两个小组进行合并。

在初始状态，也就是n=1的时候，对于排序的案例而言，只包含单个数字的分组。由于分组里只有一个数字，所以它已经是排好序的了，之后就可以开始递归调用的返回阶段。我这里画了张图，便于你的理解。

你现在应该已经明白了归并排序的基本过程，最难的已经过去了，编写代码实现就不难了。我这里给出示范性代码，你可以参考看看。 import java.util.Arrays; public class Lesson6_1 { /// /* @Description: 使用函数的递归（嵌套）调用，实现归并排序（从小到大） /* @param to_sort-等待排序的数组 /* @return int[]-排序后的数组 /*/ public static int[] merge_sort(int[] to_sort) { if (to_sort == null) return new int[0]; // 如果分解到只剩一个数，返回该数 if (to_sort.length == 1) return to_sort; // 将数组分解成左右两半 int mid = to_sort.length / 2; int[] left = Arrays.copyOfRange(to_sort, 0, mid); int[] right = Arrays.copyOfRange(to_sort, mid, to_sort.length); // 嵌套调用，对两半分别进行排序 left = merge_sort(left); right = merge_sort(right); // 合并排序后的两半 int[] merged = merge(left, right); return merged; } }

这里要注意一下，在归并的步骤中，由于递归的调用确保了被合并的两个较小的数组是有序的，所以我们无需比较组内的数字，只需要比较组间的数字就行了。

这个合并过程具体的实现代码是这样的： /// /* @Description: 合并两个已经排序完毕的数组（从小到大） /* @param a-第一个数组，b-第二个数组 /* @return int[]-合并后的数组 /*/ public static int[] merge(int[] a, int[] b) { if (a == null) a = new int[0]; if (b == null) b = new int[0]; int[] merged_one = new int[a.length + b.length]; int mi = 0, ai = 0, bi = 0; // 轮流从两个数组中取出较小的值，放入合并后的数组中 while (ai < a.length && bi < b.length) { if (a[ai] <= b[bi]) { merged_one[mi] = a[ai]; ai ++; } else { merged_one[mi] = b[bi]; bi ++; } mi ++; } // 将某个数组内剩余的数字放入合并后的数组中 if (ai < a.length) { for (int i = ai; i < a.length; i++) { merged_one[mi] = a[i]; mi ++; } } else { for (int i = bi; i < b.length; i++) { merged_one[mi] = b[i]; mi ++; } } return merged_one; }

上述两段代码的结合，就是归并排序的递归实现。你可以用这段代码进行测试：

public static void main(String[] args) { int[] to_sort = {3434, 3356, 67, 12334, 878667, 387}; int[] sorted = Lesson6_1.merge_sort(to_sort); for (int i = 0; i < sorted.length; i++) { System.out.println(sorted[i]); } }

分布式系统中的分治思想

聊到这里，你应该已经了解归并排序算法是如何运作的了，也对分而治之的思想有了认识。不过，分而治之更有趣的应用其实是在分布式系统中。

例如，当需要排序的数组很大（比如达到1024GB的时候），我们没法把这些数据都塞入一台普通机器的内存里。该怎么办呢？有一个办法，我们可以把这个超级大的数据集，分解为多个更小的数据集（比如16GB或者更小），然后分配到多台机器，让它们并行地处理。

等所有机器处理完后，中央服务器再进行结果的合并。由于多个小任务间不会相互干扰，可以同时处理，这样会大大增加处理的速度，减少等待时间。

在单台机器上实现归并排序的时候，我们只需要在递归函数内，实现数据分组以及合并就行了。而在多个机器之间分配数据的时候，递归函数内除了分组及合并，还要负责把数据分发到某台机器上。

在这个框架图中，你应该可以看到，分布式集群中的数据切分和合并，同单台机器上归并排序的过程是一样的，因此也是使用了分治的思想。从理论的角度来看，上面这个图很容易理解。不过在实际运用中，有个地方需要注意一下。

上图中的父结点，例如机器1、2、3，它们都没有被分配排序的工作，只是在子结点的排序完成后进行有序数组的合并，因此集群的性能没有得到充分利用。那么，另一种可能的数据切分方式是，每台机器拿出一半的数据给另一台机器处理，而自己来完成剩下一半的数据。

如果分治的时候，只进行一次问题切分，那么上述层级型的分布式架构就可以转化为类似MapReduce的架构。我画出了MapReduce的主要步骤，你可以看看，这里面有哪些步骤体现了分治的思想？

这里面主要有三个步骤用到了分治的思想。

1. 数据分割和映射

分割是指将数据源进行切分，并将分片发送到Mapper上。映射是指Mapper根据应用的需求，将内容按照键-值的匹配，存储到哈希结构中。这两个步骤将大的数据集合切分为更小的数据集，降低了每台机器节点的负载，因此和分治中的问题分解类似。不过，MapReduce采用了哈希映射来分配数据，而普通的分治或递归不一定需要。

2.归约

归约是指接受到的一组键值配对，如果是键内容相同的配对，就将它们的值归并。这和本机的递归调用后返回结果的过程类似。不过，由于哈希映射的关系，MapReduce还需要洗牌的步骤，也就是将键-值的配对不断地发给对应的Reducer进行归约。普通的分治或递归不一定需要洗牌的步骤。

3.合并

为了提升洗牌阶段的效率，可以选择减少发送到归约阶段的键-值配对。具体做法是在数据映射和洗牌之间，加入合并的过程，在每个Mapper节点上先进行一次本地的归约。然后只将合并的结果发送到洗牌和归约阶段。这和本机的递归调用后返回结果的过程类似。

说了这么多，你现在对分治应该有比较深入的理解了。实际上，分治主要就是用在将复杂问题转化为若干个规模相当的小问题上。分治思想通常包括问题的细分和结果的合并，正好对应于递归编程的函数嵌套调用和函数结果的返回。细分后的问题交给嵌套调用的函数去解决，而结果合并之后交由函数进行返回。所以，分治问题适合使用递归来实现。同时，分治的思想也可以帮助我们设计分布式系统和并行计算，细分后的问题交给不同的机器来处理，而其中的某些机器专门负责收集来自不同机器的处理结果，完成结果的合并。

小结

这两节我们学习了递归法。递归采用了和数学归纳法类似的思想，但是它用的是逆向递推，化繁为简，把复杂的问题逐步简化。再加上分治原理，我们就可以更有效地把问题细分，进行并行化的处理。

而计算机编程中的函数嵌套调用，正好对应了数学中递归的逆向递推，所以你只要弄明白了数学递推式，就能非常容易的写出对应的递归编码。这是为什么递归在编程领域有着非常广泛的应用。不过，需要注意的是，递归编程在没有开始返回结果之前，保存了大量的中间结果，所以比较消耗系统资源。这也是一般的编程语言都会限制递归的深度（也就是嵌套的次数）的原因。

思考题

你有没有想过，在归并排序的时候，为什么每次都将原有的数组分解为两组，而不是更多组呢？如果分为更多组，是否可行？

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参考资料

https://learn.lianglianglee.com/%e4%b8%93%e6%a0%8f/%e7%a8%8b%e5%ba%8f%e5%91%98%e7%9a%84%e6%95%b0%e5%ad%a6%e5%9f%ba%e7%a1%80%e8%af%be/06%20%e9%80%92%e5%bd%92%ef%bc%88%e4%b8%8b%ef%bc%89%ef%bc%9a%e5%88%86%e8%80%8c%e6%b2%bb%e4%b9%8b%ef%bc%8c%e4%bb%8e%e5%bd%92%e5%b9%b6%e6%8e%92%e5%ba%8f%e5%88%b0MapReduce.md