MFCC提取过程
声音是模拟信号，声音的时域波形只代表声压随时间变化的关系，不能很好的代表声音的特征，因此，必须将声音波形转换为声学特征向量。
目前有许多声音特征提取方法，如梅尔频率倒谱系数MFCC、线性预测倒谱系数LPCC、多媒体内容描述接口MPEG7等，其中MFCC是基于倒谱的，更符合人的听觉原理，因而是最普遍、最有效的声音特征提取算法。
在提取MFCC前，需要对声音做前期处理，包括模数转换、预加重和加窗。
模数转换就是把模拟信号转换为数字信号，包括两个步骤：采样和量化，即以一定的采样率和采样位数把声音连续波形转换为离散的数据点。
由于日常生活中的声音一般都在8kHz以下，根据Nyquist定律，16kHz采样率足以使得采样出来的数据包含大多数声音信息。
16kHz意味着1s的时间内采样16k个样本，这些样本都是以幅度值存储，为了有效存储幅度值，需要将其量化为整数。
对于16位采样位数来说，可以表示-32768~32767之间的整数值，所以可以将采样幅度值量化为最近的整数值。 采样和量化后的波形表示为x[n]，其中n是时间索引。
然后可以对x[n]做MFCC特征提取，算法流程图如图：
一、预加重
MFCC特征提取的第一步是增加声音高频部分的能量。
对于声音信号的频谱来说，往往低频部分的能量高于高频部分的能量，每经过10倍Hz，频谱能量就会衰减20dB，为了消除发生过程中声带和嘴唇的效应，来补偿语音信号受到发音系统所抑制的高频部分，此外为使高频部分的能量和低频部分能量有相似的幅度，使信号的频谱变得平坦，保持在低频到高频的整个频带中，能用同样的信噪比求频谱,则需要提升高频部分的能量。
加强高频部分的能量能使声学模型更好的利用高频共振峰，从而提高识别准确率。
预加重可以通过一个一阶高通滤波器实现，在时域，如果输入信号是x[n],并且式中μ的值介于0.9-1.0之间，我们通常取0.97，滤波器表示为y[n]=x[n]- μx[n-1]；在频域则表示为:
二、分帧加窗
先将N个采样点集合成一个观测单位，称为帧。
通常情况下N的值为256或512，涵盖的时间约为20~30ms左右。为了避免相邻两帧的变化过大，因此会让两相邻帧之间有一段重叠区域，此重叠区域包含了M个取样点，通常M的值约为N的1/2或1/3。通常语音识别所采用语音信号的采样频率为8KHz或16KHz，以8KHz来说，若帧长度为256个采样点，则对应的时间长度是256/8000×1000=32ms。
日常生活中的声音一般是非平稳信号，其统计特性不是固定不变的，但在一段相当短的时间内，可以认为信号是平稳的，这就是加窗。
窗由三个参数来描述：窗长（单位毫秒）、偏移和形状。每一个加窗的声音信号叫做一帧，每一帧的毫秒数叫做帧长，相邻两帧左边界的距离叫帧移。
从信号s[n]中提取一帧的过程可表示为y[n]=w[n]s[n]，如果w[n]是矩形窗，则信号会在边界处切断，这些不连续会对傅里叶分析造成影响。
因此在MFCC中，加窗一般使用边缘平滑降到0的汉明窗，表达式如下：
其中L为帧长。
三、离散傅里叶变换
由于信号在时域上的变换通常很难看出信号的特性，所以通常将它转换为频域上的能量分布来观察，不同的能量分布，就能代表不同语音的特性。
所以在乘上汉明窗后，每帧还必须再经过快速傅里叶变换以得到在频谱上的能量分布。
对分帧加窗后的各帧信号进行快速傅里叶变换得到各帧的频谱。
并对语音信号的频谱取模平方得到语音信号的功率谱。
设语音信号的DFT为：
式中x[n]为输入的语音信号，N表示傅里叶变换的点数。
计算DFT常用的一个算法是快速傅里叶变换（FFT），它非常高效但是一般要求N是2的幂。
四、 Mel 滤波器组
FFT的结果包含此帧信号在每一频带的能量信息。
但是，人耳听觉对不同频带的敏感度是不同的，人耳对高频不如低频敏感，这一分界线大约是1000Hz，在提取声音特征时模拟人耳听觉这一性质可以提高识别性能。
在MFCC中的做法是将FFT输出的频率对应到mel刻度上。一mel是一个音高单位，在音高上感知等距的声音可以被相同数量的mel数分离。
频率（单位Hz）和mel刻度之间的对应关系在1000Hz以下是线性的，在1000Hz以上是对数的，其计算公式如下：
式中f为频率，单位为Hz。
下图展示了Mel频率与线性频率的关系：
在计算MFCC时，将FFT频谱通过一组mel滤波器组就可以转换为mel频谱。
Mel滤波器组一般是一组mel刻度的三角形滤波器组，1000Hz以下的10个滤波器线性相隔，1000Hz以上的剩余滤波器对数相隔。
定义一个有M个滤波器的滤波器组，采用的滤波器为三角滤波器，中心频率为f(m)，m=1，2，…，M，M通常取22-26（滤波器的个数和临界带个数相近）。
各f(m)之间的间隔随着m值的减小而缩小，随着m值的增大而增宽，如图：
每个三角滤波器的频率响应为：
使用三角带通滤波器两作用：
1、可以对频谱进行平滑，并消除谐波的作用，突显原始声音的共振峰。因此一段声音的音调或音高，不会反应在MFCC参数内，也就是说以MFCC作为声学特征，并不会受到输入声音的音调不同而对识别结果有所影响。
2、还可以降低运算量。
在得到mel频谱后，计算每个滤波器组输出的对数能量。一般人对声音声压的反应呈对数关系，人对高声压的细微变化敏感度不如低声压。此外，使用对数可以降低提取的特征对输入声音能量变化的敏感度，因为声音与麦克风之间的距离是变化的，因而麦克风采集到的声音能量也是变化的。
每个滤波器输出的对数能量为：
五、倒谱：离散余弦变换（DCT）
尽管可以用mel频谱本身作为声音特征，但使用倒谱有其优点并且可以提高识别性能。
抛开预加重和mel刻度转换，倒谱的定义可以看做是频谱对数的频谱，即将标准幅度谱的幅度值先取对数，然后形象化对数谱使其看起来像声音波形。
倒谱这个单词cepstrum正是将单词spectrum（频谱）的前四个字母颠倒而来，频谱是将时域信号变换为频域信号，倒谱则是将频域信号又变换回时域信号；
在波形上，倒谱与频谱有相似的波形，即如果频谱在低频处有个峰值，则倒谱在低倒谱系数上也有峰值，如果频谱在高频处有个峰值，则倒谱在高倒谱系数上也有峰值。
所以如果是为了检测音元，可以用低倒谱系数；如果是检测音高，则可以用高倒谱系数。
倒谱系数的优点是其不同系数的变化是不相关的，意味着高斯声学模型（高斯混合模型GMM）无需表现所有MFCC特征的协方差，因而大大减少了参数数量。
利用滤波器的对数能量，倒谱系数可以由离散余弦变换获得：
式中L指MFCC阶数，通常12阶就可以代表声学特征；M指三角滤波器个数。
六、能量和差分
某一帧的能量定义为某一帧样本点的平方和，对于一个加窗信号x，其从样本点t1到样本点t2的能量为：
实际应用中也可以将上式取以10为底的对数值，再乘以10。
若要加入其他声音特征如音高、过零率及共振峰等也可以在这一阶段加入。
以上提取的特征每一帧单独考虑，是静态的，而实际声音是连续的，帧与帧之间是有联系的，因而需要增加特征来表示这种帧间的动态变化，这通常通过计算每一帧13个特征（12个倒谱特征加上1个能量）的一阶差分甚至二阶差分来实现。
一个简单计算差分的方法就是计算当前帧前后各一帧的13个特征的差值：
如果不考虑二阶差分，最终每一帧的MFCC特征为26维度：12维倒谱系数、12维倒谱系数差分、1维能量和1维能量差分。
高斯函数gmm
Gaussian Function， 也简称为Gaussian，一维形式如下：
对于任意的实数a,b,c，是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。
高斯的一维图是特征对称“bell curve”形状，a是曲线尖峰的高度，b是尖峰中心的坐标，即均值，c称为标准方差，表征的是bell钟状的宽度。
参考资料
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