问题
输入：一个最多包含n个正整数的文件，每个数都小于n，其中n=10^7。如果在输入文件中有任何正数重复出现就是致命错误。没有其他数据与该正数相关联。
输出：按升序排列的输入整数的列表。
约束：最多有（大约）1MB的内存空间可用，有充足的磁盘存储空间可用。运行时间最多几分钟，运行时间为10秒就不需要进一步优化。
这是《编程珠玑》中很有意思的一个问题。今天给大家分享一下并附上自己的代码实现。
分析
这个问题的限制在于，大约只有1MB的内存空间可用，而存储10^7个整数却大约需要4*10^7字节即大约需要40M内存，显然是不够用的。
- 多次读取
一种思路是，既然总的内存不够，我们可以读取40次，例如，第一次读取0至249 999之间的数，并对其进行排序输出，第二次读取250 000 至499 999之间的数，并对其排序输出。以次类推，在进行了多次排序之后就完成了对所有数据的排序，并输出到文件中。
- 归并排序
另外一种思路是，既然有充足的磁盘存储空间可用，那么我们可以借助中间文件。读入一次输入文件，利用中间文件进行归并排序写入输出文件。
那么能否结合两种思路呢？即只需要读取一次，也不借助中间文件？
或者说，如何用大约1MB内存空间，即大约８00万个比特位最多表示10^７个互异的数呢？
位图法
借助位图法当然是可以的。
我们可以用一个比特位来代表一个数。
例如，对于整数集合 {1,2,5,6,7}，可以使用下面的比特位表示：
0 1 1 0 0 1 1 1
数值存在的比特位置为1，其他位为0，对应上面的即可。分别在第1，2，5，6，7比特位置1即可。而上面的比特位转换为整数值为103，只需要一个字节便可存储。
回到我们之前的问题。对于最多10^7个整数，我们大约需要10^7个比特位，即10^7/(810241024)MB，约1.2M的内存即可存储。
至此，我们可以梳理出算法大体流程：
-
对给定大小的数组所有比特位置0
-
循环读取输入文件的数据，并将对应数值大小的比特位置1
-
遍历数组各比特位，如果位为1，则输出对应比特位的位置整数
C 语言实现
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define CHAR_BIT 8 // char类型占用的bit位数
#define SHIFT 3 //右移的位数
#define MAX_NUM 10000000
#define BIT_SIZE 10000000*8 //所需比特位总数量
#define MAX_STR 10 //一个整数所需最大字符数
#define INPUT_FILE "srcNum.txt"
#define OUTPUT_FILE "dstNum.txt"
/*将整数对应的比特位置1*/
int putIntoBitMap(char *bitmap, int num)
{
int byte = num >> SHIFT;
char bit = 1 << num % CHAR_BIT;
bitmap[byte] |= (char) bit;
return 0;
}
/*判断整数是否在位图中*/
int isInBitMap(char *bitmap, int num)
{
int byte = num >> SHIFT;
char bit = 1 << num % CHAR_BIT;
if (bitmap[byte] & (char) bit)
return 1;
else
return 0;
}
int main(void)
{
/*打开源文件*/
FILE *in = fopen( INPUT_FILE, "r" );
if(NULL == in)
{
printf("open src num failed");
return -1;
}
/*申请位图相关内存，并初始化为0*/
char string[MAX_STR] = { 0 };
char *bitmap = (char*)calloc(MAX_NUM,sizeof(char));
if(NULL == bitmap)
{
fclose(in);
return -1;
}
int num = 0;
/*循环读取文件中的整数，并将对应位置1*/
while(fgets(string, MAX_STR, in ) != NULL)
{
num = atoi(string);
putIntoBitMap(bitmap, num);
//printf("%d
",num);
}
fclose(in);
/*遍历位图中的比特位，为1，则输出整数到文件中*/
FILE *out = fopen(OUTPUT_FILE, "w+");
if(NULL == out)
{
printf("open dst num failed");
free(bitmap);
bitmap = NULL;
return -1;
}
int i;
for (i = 0; i < BIT_SIZE; i++)
{
if (isInBitMap(bitmap , i))
{
fprintf(out, "%d
", i);
//printf("%d
",i);
}
}
fclose(out);
free(bitmap);
bitmap = NULL;
return 0;
}
srcNum.txt中存放了早已生成好的小于10^7的大量无重复整数，编译运行结果如下：
gcc -o bitmap bitmap.c
time ./bitmap
real 0m1.830s
user 0m1.729s
sys 0m0.100s
可以看到运行时间为秒级。
关键点说明：
putIntoBitMap和isInBitMap函数是该算法的关键函数
putIntoBitMap将整数对应的比特位置1
isInBitMap 判断整数所在比特位是否为1
例如对于整数81，它所在的字节数是81/8 = 10，第10字节（从0开始数），所在的比特位为81%8=1，第1个比特位。那么我们只需要将第10字节的第1个比特位置1即可。
如何将第n个比特位置1？先将1左移n位（n小于8），得到一个值，再将这个值与该字节进行相或即可。
例如，如果需要将第4个比特位置1，则1左移4位，得到二进制的00010000即16，若原来该字节值为01000000，即64时，只需将64与16逻辑或即可。
00010000
01000000
01010000 #逻辑或之后的结果
上面的程序还有很多不足之处，包括未对输入做任何检查，未对输入数量做校验等等。
这一切都基于输入数据都是正确的，但这丝毫不影响我们对该算法思想的理解。
总结
位图法适用于大规模数据，但数据状态又不是很多的情况。
对于上面的程序，几乎是做完读取操作之后，排序就完成了，效率惊人。
