绕不过去的坎

原来尝试学习写 Regex，写了一半都来放弃了。

最近在看《编译原理》，发现书中提到了正则表达式。

最近在刷 leetcode，刚好到 regular-expression-matching。

可见困难是必须要面对的。

本篇文章转载自 CSDN，感觉写的很好，此处仅作为记录。

为什么需要 NFA 转 DFA

Regex 正则表达式原理及如何从零实现中我们已经构建了一个可用的正则表达式引擎。

但上文中只是用到了NFA，NFA的引擎建图时间复杂度是O(n)，但匹配一个长度为m的字符串时因为涉及到大量的递归和回溯，最坏时间复杂度是O(mn)。

与之对比DFA引擎的建图时间复杂度O(n^2)，但匹配时没有回溯，所以匹配复杂度只有O(m)，性能差距还是挺大的。

DFA和NFA

我们已经多次提到了NFA和DFA，它俩究竟是啥？有啥区别？

首先，NFA和DFA都是有限状态机，都是有向图，用来描述状态和状态之间的关系。

其中NFA全称是非确定性有限状态自动机(Nondeterministic finite automaton)，DFA全称是确定性有限状态自动机(Deterministic finite automaton)。

确定性

二者的差异主要在于确定性和非确定性，何为确定性？

确定性是指面对同一输入，不会出现有多条可行的路径执行下一个节点。有点绕，看完图你就理解了。

图示分别是一个NFA和DFA，上图之所以是NFA是因为它有节点具备不确定性，比如0节点，在输入”a”之后它分别可以到0 1 2 节点。

还有，上图有 epsilone 边，它可以在没有输入的情况下跳到下一个节点，这也带来了不确定性。相反，下图DFA中，每个节点对某一特定的输入都只有最多一条边。

总结下NFA和DFA的区别就是，有ε边或者某个节点对同一输入对应多个状态的一定是NFA。

等价性

DFA和NFA存在等价性，也就是说任何NFA都可以转化为等价的DFA。

由于NFA的非确定性，在面对一个输入的时候可能有多条可选的路径，所以在一条路径走不通的情况下，需要回溯到选择点去走另外一条路径。

但DFA不同，在每个状态下，对每个输入不会存在多条路径，就不需要递归和回溯了，可以一条路走到黑。

DFA的匹复杂度只有O(n)，但因为要递归和回溯NFA的匹配复杂度达到了O(n^2)。

这也是为什么我们要将引擎中的NFA转化为DFA的主要原因。

NFA转DFA算法

NFA转DFA的算法叫做子集构造法，其具体流程如下。

步骤1: NFA的初始节点和初始节点所有ε可达的节点共同构成DFA的初始节点，然后对初始DFA节点执行步骤2。

步骤2: 对当前DFA节点，找到其中所有NFA节点对输入符号X所有可达的NFA节点，这些节点沟通构成的DFA节点作为当前DFA节点对输入X可达的DFA节点。

步骤3: 如果步骤2中找到了新节点，就对新节点重复执行步骤2。

步骤4: 重复步骤2和步骤3直到找不DFA新节点为止。

步骤5: 把所有包含NFA终止节点的DFA节点标记为DFA的终止节点。

例子

语言描述比较难理解，我们直接上例子。

我们已经拿上一篇网站中的正则表达式 a(b|c)* 为例，NFA输出如下。

from to input
 0-> 1  a
 1-> 8  Epsilon
 8-> 9  Epsilon
 8-> 6  Epsilon
 6-> 2  Epsilon
 6-> 4  Epsilon
 2-> 3  b
 4-> 5  c
 3-> 7  Epsilon
 5-> 7  Epsilon
 7-> 9  Epsilon
 7-> 6  Epsilon

绘图如下：

我们在上图的基础上执行步骤1 得到了节点0作为DFA的开始节点。

然后对DFA的节点0执行步骤1，找到NFA中所有a可达的NFA节点(1#2#4#6#8#9)构成NFA中的节点1，如下图。

我以dfa1为出发点，发现了a可达的所有NFA节点(2#3#4#6#7#9)和b可达的所有节点(2#4#5#6#7#9)，分别构成了DFA中的dfa2和dfa3，如下图。

然后我们分别在dfa2 dfa3上执行步骤三，找不到新节点，但会找到几条新的边，补充如下，至此我们就完成了对 a(b|c)* 对应NFA到DFA的转化。

可以看出DFA图节点明显少于NFA，但NFA更容易看出其对应的正则表达式。

代码实现

代码其实就是对上文流程的表述，更多细节见

 private static DFAGraph convertNfa2Dfa(NFAGraph nfaGraph) {
        DFAGraph dfaGraph = new DFAGraph();
        Set<State> startStates = new HashSet<>();
        // 用NFA图的起始节点构造DFA的起始节点 步骤1 
        startStates.addAll(getNextEStates(nfaGraph.start, new HashSet<>()));
        if (startStates.size() == 0) {
            startStates.add(nfaGraph.start);
        }
        dfaGraph.start = dfaGraph.getOrBuild(startStates);
        Queue<DFAState> queue = new LinkedList<>();
        Set<State> finishedStates = new HashSet<>();
        // 如果BFS的方式从已找到的起始节点遍历并构建DFA
        queue.add(dfaGraph.start);
        while (!queue.isEmpty()) {  // 步骤2 
            DFAState curState = queue.poll();
            for (State nfaState : curState.nfaStates) {
                Set<State> nextStates = new HashSet<>();
                Set<String> finishedEdges = new HashSet<>();
                finishedEdges.add(Constant.EPSILON);
                for (String edge : nfaState.next.keySet()) {
                    if (finishedEdges.contains(edge)) {
                        continue;
                    }
                    finishedEdges.add(edge);
                    Set<State> efinishedState = new HashSet<>();
                    for (State state : curState.nfaStates) {
                        Set<State> edgeStates = state.next.getOrDefault(edge, Collections.emptySet());
                        nextStates.addAll(edgeStates);
                        for (State eState : edgeStates) {
                            // 添加E可达节点
                            if (efinishedState.contains(eState)) {
                                continue;
                            }
                            nextStates.addAll(getNextEStates(eState, efinishedState));
                            efinishedState.add(eState);
                        }
                    }
                    // 将NFA节点列表转化为DFA节点，如果已经有对应的DFA节点就返回，否则创建一个新的DFA节点
                    DFAState nextDFAstate = dfaGraph.getOrBuild(nextStates);
                    if (!finishedStates.contains(nextDFAstate)) {
                        queue.add(nextDFAstate);
                    }
                    curState.addNext(edge, nextDFAstate);
                }
            }
            finishedStates.add(curState);
        }
        return dfaGraph;
    }

DFAState

public class DFAState extends State {
    public Set<State> nfaStates = new HashSet<>();
    // 保存对应NFAState的id,一个DFAState可能是多个NFAState的集合,所以拼接成String
    private String allStateIds;
    public DFAState() {
        this.stateType = 2;
    }

    public DFAState(String allStateIds, Set<State> states) {
        this.allStateIds = allStateIds;
        this.nfaStates.addAll(states);
         //这里我将步骤五直接集成在创建DFA节点的过程中了
        for (State state : states) {
            if (state.isEndState()) {
                this.stateType = 1;
            }
        }
    }

    public String getAllStateIds() {
        return allStateIds;
    }
}

另外我在DFAGraph中封装了有些NFA节点列表到DFA节点的转化和查找，具体如下。

public class DFAGraph {

    private Map<String, DFAState> nfaStates2dfaState = new HashMap<>();
    public DFAState start = new DFAState();

    // 这里用map保存NFAState结合是已有对应的DFAState, 有就直接拿出来用
    public DFAState getOrBuild(Set<State> states) {
        String allStateIds = "";
        int[] ids = states.stream()
                          .mapToInt(state -> state.getId())
                          .sorted()
                          .toArray();
        for (int id : ids) {
            allStateIds += "#";
            allStateIds += id;
        }
        if (!nfaStates2dfaState.containsKey(allStateIds)) {
            DFAState dfaState = new DFAState(allStateIds, states);
            nfaStates2dfaState.put(allStateIds, dfaState);
        }
        return nfaStates2dfaState.get(allStateIds);
    }
}

DFA引擎匹配过程

dfa引擎的匹配也可以完全复用NFA的匹配过程，所以对之前NFA的匹配代码，可以针对DFA模式取消回溯即可(不取消也没问题，但会有性能影响)。

private boolean isMatch(String text, int pos, State curState) {
    if (pos == text.length()) {
        if (curState.isEndState()) {
            return true;
        }
        for (State nextState : curState.next.getOrDefault(Constant.EPSILON, Collections.emptySet())) {
            if (isMatch(text, pos, nextState)) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) {
        String edge = entry.getKey();
        // 如果是DFA模式,不会有EPSILON边
        if (Constant.EPSILON.equals(edge)) {
            for (State nextState : entry.getValue()) {
                if (isMatch(text, pos, nextState)) {
                    return true;
                }
            }
        } else {
            MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge);
            if (!matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) {
                continue;
            }
            // 遍历匹配策略
            for (State nextState : entry.getValue()) {
                // 如果是DFA匹配模式,entry.getValue()虽然是set,但里面只会有一个元素,所以不需要回溯
                if (nextState instanceof DFAState) {
                    return isMatch(text, pos + 1, nextState);
                }
                if (isMatch(text, pos + 1, nextState)) {
                    return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

因为DFA的匹配不需要回溯，所以可以完全改成非递归代码。

private boolean isDfaMatch(String text, int pos, State startState) {
    State curState = startState;
    while (pos < text.length()) {
        boolean canContinue = false;
        for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) {
            String edge = entry.getKey();
            MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge);
            if (matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) {
                curState = entry.getValue().stream().findFirst().orElse(null);
                pos++;
                canContinue = true;
                break;
            }
        }
        if (!canContinue) {
            return false;
        }
    }
    return curState.isEndState();
}