基本概念
图
图是数据结构中最为复杂的一种，我在上大学的时候，图的这一章会被老师划到考试范围之外，作为我们的课后兴趣部分。
但实际上，图在信息化社会中的应用非常广泛。图主要包括：
-
无向图，结点的简单连接
-
有向图，连接有方向性
-
加权图，连接带有权值
-
加权有向图，连接既有方向性，又带有权值
图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成。
常见的地图，电路，网络等都是图的结构。
术语
顶点：图中的一个点
边：连接两个顶点的线段叫做边，edge
相邻的：一个边的两头的顶点称为是相邻的顶点
度数：由一个顶点出发，有几条边就称该顶点有几度，或者该顶点的度数是几，degree
路径：通过边来连接，按顺序的从一个顶点到另一个顶点中间经过的顶点集合
简单路径：没有重复顶点的路径
环：至少含有一条边，并且起点和终点都是同一个顶点的路径
简单环：不含有重复顶点和边的环
连通的：当从一个顶点出发可以通过至少一条边到达另一个顶点，我们就说这两个顶点是连通的
连通图：如果一个图中，从任意顶点均存在一条边可以到达另一个任意顶点，我们就说这个图是个连通图
无环图：是一种不包含环的图
稀疏图：图中每个顶点的度数都不是很高，看起来很稀疏
稠密图：图中的每个顶点的度数都很高，看起来很稠密
二分图：可以将图中所有顶点分为两部分的图
所以树其实就是一种无环连通图。
有向图
有向图是一幅有方向性的图，由一组顶点和有向边组成。
所以，大白话来讲，有向图是包括箭头来代表方向的。
常见的例如食物链，网络通信等都是有向图的结构。
术语
上面我们介绍了顶点的度数，在有向图中，顶点被细分为了：
出度：由一个顶点出发的边的总数
入度：指向一个顶点的边的总数
接着，由于有向图的方向性，一条边的出发点称为头，指向点称为尾。
有向路径：图中的一组顶点可以满足从其中任意一个顶点出发，都存在一条有向边指向这组顶点中的另一个。
有向环：至少含有一条边的起点和终点都是同一个顶点的一条有向路径。
简单有向环：一条不含有重复顶点和边的环。
路径或环的长度就是他们包含的边数。
图的连通性在有向图中表现为可达性，由于边的方向性，可达性必须是通过顶点出发的边的正确方向，与另一个顶点可连通。
邻接表数组
可表示图的数据类型，意思就是如何通过一个具体的文件内容，来表示出一幅图的所有顶点，以及顶点间的边。
邻接表数组，以顶点为索引（注意顶点没有权值，只有顺序，因此是从0开始的顺序值），其中每个元素都是和该顶点相邻的顶点列表。
5 vertices, 3 edges
0: 4 1
1: 0
2:
3:
4:
java 代码实现
接口定义
package com.github.houbb.data.struct.core.util.graph;
import com.github.houbb.data.struct.core.util.graph.component.Edge;
/**
* 有向图接口
* 对于定点+边的操作：
* （1）增加
* （2）删除
* （3）获取
*
* @author binbin.hou
* @since 0.0.2
*/
public interface IDirectGraph<V> {
/**
* 新增顶点
* @param v 顶点
* @since 0.0.2
*/
void addVertex(final V v);
/**
* 删除顶点
* @param v 顶点
* @since 0.0.2
* @return 是否删除成功
*/
boolean removeVertex(final V v);
/**
* 获取顶点
* @param index 下标
* @since 0.0.2
* @return 返回顶点信息
*/
V getVertex(final int index);
/**
* 新增边
* @param edge 边
* @since 0.0.2
*/
void addEdge(final Edge<V> edge);
/**
* 移除边
* @param edge 边信息
* @since 0.0.2
*/
boolean removeEdge(final Edge<V> edge);
/**
* 获取边信息
* @param from 开始节点
* @param to 结束节点
* @since 0.0.2
*/
Edge<V> getEdge(final int from, final int to);
}
- 边类定义
package com.github.houbb.data.struct.core.util.graph.component;
import java.util.Objects;
/**
* 边的信息
* @author binbin.hou
* @since 0.0.2
*/
public class Edge<V> {
/**
* 开始节点
* @since 0.0.2
*/
private V from;
/**
* 结束节点
* @since 0.0.2
*/
private V to;
/**
* 权重
* @since 0.0.2
*/
private double weight;
public Edge(V from, V to) {
this.from = from;
this.to = to;
}
public V getFrom() {
return from;
}
public void setFrom(V from) {
this.from = from;
}
public V getTo() {
return to;
}
public void setTo(V to) {
this.to = to;
}
public double getWeight() {
return weight;
}
public void setWeight(double weight) {
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edge{" +
"from=" + from +
", to=" + to +
", weight=" + weight +
'}';
}
@Override
public boolean equals(Object o) {
if (this == o) {
return true;
}
if (o == null || getClass() != o.getClass()) {
return false;
}
Edge<?> edge = (Edge<?>) o;
return Double.compare(edge.weight, weight) == 0 &&
Objects.equals(from, edge.from) &&
Objects.equals(to, edge.to);
}
@Override
public int hashCode() {
return Objects.hash(from, to, weight);
}
}
- 一个节点的完整信息
一个节点是有一个图的顶点+对应的边信息组成的。
package com.github.houbb.data.struct.core.util.graph.component;
import com.github.houbb.heaven.util.guava.Guavas;
import java.util.Iterator;
import java.util.Set;
/**
* 完整的节点信息：
*
* （1）顶点
* （2）边
*
* 二者的集合。
*
*
* @author binbin.hou
* @since 0.0.2
*/
public class GraphNode<V> {
/**
* 顶点信息
* @since 0.0.2
*/
private V vertex;
/**
* 以此顶点为起点的边的集合，是一个列表，列表的每一项是一条边
*
* （1）使用集合，避免重复
*/
private Set<Edge<V>> edgeSet;
/**
* 初始化一個節點
* @param vertex 頂點
*/
public GraphNode(V vertex) {
this.vertex = vertex;
this.edgeSet = Guavas.newHashSet();
}
/**
* 新增一条边
* @param edge 边
*/
public void add(final Edge<V> edge) {
edgeSet.add(edge);
}
/**
* 获取目标边
* @param to 目标边
* @return 边
* @since 0.0.2
*/
public Edge<V> get(final V to) {
for(Edge<V> edge : edgeSet) {
V dest = edge.getTo();
if(dest.equals(to)) {
return edge;
}
}
return null;
}
/**
* 获取目标边
* @param to 目标边
* @return 边
* @since 0.0.2
*/
public Edge<V> remove(final V to) {
Iterator<Edge<V>> edgeIterable = edgeSet.iterator();
while (edgeIterable.hasNext()) {
Edge<V> next = edgeIterable.next();
if(to.equals(next.getTo())) {
edgeIterable.remove();
return next;
}
}
return null;
}
public V getVertex() {
return vertex;
}
public Set<Edge<V>> getEdgeSet() {
return edgeSet;
}
@Override
public String toString() {
return "GraphNode{" +
"vertex=" + vertex +
", edgeSet=" + edgeSet +
'}';
}
}
默认实现
package com.github.houbb.data.struct.core.util.graph;
import com.github.houbb.data.struct.core.util.graph.component.Edge;
import com.github.houbb.data.struct.core.util.graph.component.GraphNode;
import com.github.houbb.heaven.util.guava.Guavas;
import java.util.*;
/**
* 链表实现的有向图
*
* 邻接链表（Adjacency List）实现的有向图
*
* @author binbin.hou
* @since 0.0.2
*/
public class ListDirectGraph<V> implements IDirectGraph<V> {
/**
* 节点链表
* @since 0.0.2
*/
private List<GraphNode<V>> nodeList;
/**
* 初始化有向图
* @since 0.0.2
*/
public ListDirectGraph() {
this.nodeList = Guavas.newArrayList();
}
@Override
public void addVertex(V v) {
GraphNode<V> node = new GraphNode<>(v);
// 直接加入到集合中
this.nodeList.add(node);
}
@Override
public boolean removeVertex(V v) {
//1. 移除一个顶点
//2. 所有和这个顶点关联的边也要被移除
Iterator<GraphNode<V>> iterator = nodeList.iterator();
while (iterator.hasNext()) {
GraphNode<V> graphNode = iterator.next();
if(v.equals(graphNode.getVertex())) {
iterator.remove();
}
}
return true;
}
@Override
public V getVertex(int index) {
return nodeList.get(index).getVertex();
}
@Override
public void addEdge(Edge<V> edge) {
//1. 新增一条边，直接遍历列表。
// 如果存在这条的起始节点，则将这条边加入。
// 如果不存在，则直接报错即可。
for(GraphNode<V> graphNode : nodeList) {
V from = edge.getFrom();
V vertex = graphNode.getVertex();
// 起始节点在开头
if(from.equals(vertex)) {
graphNode.getEdgeSet().add(edge);
}
}
}
@Override
public boolean removeEdge(Edge<V> edge) {
// 直接从列表中对应的节点，移除即可
GraphNode<V> node = getGraphNode(edge);
if(null != node) {
// 移除目标为 to 的边
node.remove(edge.getTo());
}
return true;
}
@Override
public Edge<V> getEdge(int from, int to) {
// 获取开始和结束的顶点
V toVertex = getVertex(from);
// 获取节点
GraphNode<V> fromNode = nodeList.get(from);
// 获取对应结束顶点的边
return fromNode.get(toVertex);
}
/**
* 获取图节点
* @param edge 边
* @return 图节点
*/
private GraphNode<V> getGraphNode(final Edge<V> edge) {
for(GraphNode<V> node : nodeList) {
final V from = edge.getFrom();
if(node.getVertex().equals(from)) {
return node;
}
}
return null;
}
/**
* 获取对应的图节点
* @param vertex 顶点
* @return 图节点
* @since 0.0.2
*/
private GraphNode<V> getGraphNode(final V vertex) {
for(GraphNode<V> node : nodeList) {
if(vertex.equals(node.getVertex())) {
return node;
}
}
return null;
}
}
图的遍历
图是一种灵活的数据结构，一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。
对象由顶点（V）表示，而对象之间的关系或者关联则通过图的边（E）来表示。
图可以分为有向图和无向图，一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。
在图的基本算法中，最初需要接触的就是图的遍历算法，根据访问节点的顺序，可分为广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。
BFS 广度遍历
流程
广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前，先访问当前顶点的所有邻接结点。
a.首先选择一个顶点作为起始结点，并将其染成灰色，其余结点为白色。
b. 将起始结点放入队列中。
c. 从队列首部选出一个顶点，并找出所有与之邻接的结点，将找到的邻接结点放入队列尾部，将已访问过结点涂成黑色，没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色，表示已经发现并且放入了队列，如果顶点的颜色是白色，表示还没有发现
d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。
基本就是出队的顶点变成黑色，在队列里的是灰色，还没入队的是白色。
图流程
用一副图来表达这个流程如下：
从顶点1开始进行广度优先搜索：
初始状态，从顶点1开始，队列={1}
访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}
访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}
访问3的邻接结点，3出队，队列={4}
访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空}
结点5对于1来说不可达。
java 代码实现
@Override
public List<V> bfs(final V root) {
List<V> visitedList = Guavas.newArrayList();
Queue<V> visitingQueue = new LinkedList<>();
// 1. 放入根节点
visitingQueue.offer(root);
// 2. 开始处理
V vertex = visitingQueue.poll();
while (vertex != null) {
// 2.1 获取对应的图节点
GraphNode<V> graphNode = getGraphNode(vertex);
// 2.2 图节点存在
if(graphNode != null) {
Set<Edge<V>> edgeSet = graphNode.getEdgeSet();
//2.3 将不在访问列表中 && 不再处理队列中的元素加入到队列。
for(Edge<V> edge : edgeSet) {
V target = edge.getTo();
if(!visitedList.contains(target)
&& !visitingQueue.contains(target)) {
visitingQueue.offer(target);
}
}
}
//3. 更新节点信息
// 3.1 放入已经访问的列表
visitedList.add(vertex);
// 3.2 当节点设置为最新的元素
vertex = visitingQueue.poll();
}
return visitedList;
}
DFS 深度遍历
流程
深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后，需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。
初始条件下所有节点为白色，选择一个作为起始顶点，按照如下步骤遍历：
a. 选择起始顶点涂成灰色，表示还未访问
b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个，继续这个过程（即再寻找邻接结点的邻接结点），一直深入下去，直到一个顶点没有邻接结点了，涂黑它，表示访问过了
c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点，再找这个上一层顶点的其余邻接结点，继续如上操作，如果所有邻接结点往下都访问过了，就把自己涂黑，再回溯到更上一层。
d. 上一层继续做如上操作，知道所有顶点都访问过。
图示
从顶点1开始做深度搜索：
初始状态，从顶点1开始
依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1
从顶点4开始访问，并终止于顶点4
java 代码实现
@Override
public List<V> dfs(V root) {
List<V> visitedList = Guavas.newArrayList();
Stack<V> visitingStack = new Stack<>();
// 顶点首先压入堆栈
visitingStack.push(root);
// 获取一个边的节点
while (!visitingStack.isEmpty()) {
V visitingVertex = visitingStack.peek();
GraphNode<V> graphNode = getGraphNode(visitingVertex);
boolean hasPush = false;
if(null != graphNode) {
Set<Edge<V>> edgeSet = graphNode.getEdgeSet();
for(Edge<V> edge : edgeSet) {
V to = edge.getTo();
if(!visitedList.contains(to)
&& !visitingStack.contains(to)) {
// 寻找到下一个临接点
visitingStack.push(to);
hasPush = true;
break;
}
}
}
// 循环之后已经结束，没有找到下一个临点，则说明访问结束。
if(!hasPush) {
// 获取第一个元素
visitedList.add(visitingStack.pop());
}
}
return visitedList;
}
代码测试
测试代码
IDirectGraph<String> directGraph = new ListDirectGraph<>();
//1. 初始化顶点
directGraph.addVertex("1");
directGraph.addVertex("2");
directGraph.addVertex("3");
directGraph.addVertex("4");
directGraph.addVertex("5");
directGraph.addVertex("6");
directGraph.addVertex("7");
directGraph.addVertex("8");
//2. 初始化边
directGraph.addEdge(new Edge<>("1", "2"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("1", "3"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("2", "4"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("2", "5"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("3", "6"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("3", "7"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("4", "8"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("8", "5"));
directGraph.addEdge(new Edge<>("6", "7"));
//3. BFS 遍历
List<String> bfsList = directGraph.bfs("1");
System.out.println(bfsList);
//4. DFS 遍历
List<String> dfsList = directGraph.dfs("1");
System.out.println(dfsList);
测试结果
[1, 3, 2, 7, 6, 5, 4, 8]
[7, 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1]
TODO: 移除环，转为 DAG
…
