分治算法

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。

求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

基本思想

当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。

这就是分治策略的基本思想。

二分法

利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。

分治法解题的一般步骤：

（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；

（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；

（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

应用场景

运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：

1、原问题可以分解为多个子问题

这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。

2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题

由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。

3、在求解并得到各个子问题的解后

应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。

在各种排序方法中，如归并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。

分治算法的时间复杂度

分治算法的时间复杂度分析我们可以用递推公式和递归树。

例如：一个规模为n的问题，每次将其分解为k个子问题，直至子问题的规模为1,合并k个子问题的时间复杂度为O(n).

则原问题的时间复杂度T(n)=kT(n/k)+O(n).

由此可求得起时间复杂度为 O（nlogn）.

经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

合并排序

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/*************************************
*
*   Megre_Sort()
* 输入:两个数组及长度
*************************************/
void Megre_sort(int *A,int p,int *C,int q)
{
	int *B; 
	int s=0,t=0,k=0,i = 0,r=p+q;
	B = (int *)malloc(sizeof(int)*(p+q));
	
     while( s <= p && t <= q )
		 
	 {
		 if(A[s] <= C[t])
		 {
			 B[k] = A[s];
			 s++;
		 }
		 else
		 {
			 B[k] = C[t];
			 t++;
		 }
		 k++;
	 }
	 if (s = q +1)
		 for( i = 0; i <= (r-k);i++)
			 B[k+i] = C[t+i];
		 else
			 for( i = 0; i <= (r-k);i++)
			 B[k+i] = A[s+i];
for(i = 0; i < p+q ; i++)
{
	printf("%d ",B[i]);
}
}
/*************************************
*
*   BottomUp_Sort()
* 输入:数组及长度
*************************************/
void BottomUp_Sort(int n)
{
	int i = 1,s,j;
	int *A;
	A = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
   srand( (unsigned)time( NULL ) );  
   for(i = 0;i < n; i ++)
   {
	   A[i] = rand();
   }
    while ( i < n)
	{ 
		s = i;
		i = 2*s;
		j = 0;
		while ( j + i <= n)
		{
			Megre_sort(A,s,A+s,i);
			j++;
		}
		if ( j + s < n)
			Megre_sort(A,s,A+s,n-j);
	}
}

快速排序

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/*************************************
*
*       Quick_Sort()
* 输入:数组及长度
*************************************/
void Quick_Sort(int *A,int low,int high)
{
	
    if (A == NULL || low >= high)
        return ;
    int part = SPLIT(A, low, high);
    Quick_Sort(A, low, part-1);
    Quick_Sort(A, part+1, high);
    
   
}
/*************************************
*
*       SPLIT()
* 输入:划分数组 
*************************************/
int SPLIT(int *a, int beg, int end)
{
    int i,c,x,j;
         i = beg;
         x = a[beg];
        for(j = beg+1; j <= end; ++j)
        {
            if(a[j] <= x)
            {
			     ++i;
			     if(i != j)
			     {
    				c= a[i];
				  a[i]=a[j];
				  a[j] =c;
     			 }    
            }
        }
        x = a[beg];
		 a[beg]=a[i];
		 a[i] = x;
        return i;
}