自然对数

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N>0）。

在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。

数学中也常见以logx表示自然对数。

什么是e？

它说，什么是e？

简单说，e 就是增长的极限。

概念

自然对数的底e是由一个重要极限给出的。

我们定义：当n趋于无穷大时， image .

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数（指不是代数的数、无限不循环数）。

复利的极限是什么？

假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！

银行一般1年才付一次利息，根据下公式x=1，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

1 * (1+100%) = 2

如果银行半年付一次利息，然后把利息当成本金，下半年和本金一起生息

1 * (1 + 100%/2)^2 = 2.25

继续，银行1/3年付一次利息

1 * (1 + 100%/3)^3 = 2.37037

那么如果我们每一分每一秒都在支付利息呢？会变成无穷大吗？

image

很遗憾，其实结果会趋于 e（自然常数）

ps: 其实这里涉及到金融中的无套利定价原则，很多东西本质都是相通的，实在有趣。

无处不在的 e

小到贝壳的花纹，大到宇宙的旋涡星系的旋臂都像等角螺线：

大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。

建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。

这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？

e与π的哲学意义

数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。

人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：

例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。

再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。

那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。

说明[]符号内为17位倒序区。

二进制π取部分值为 11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011

二进制e取部分值为 10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101

17位倒序区的意义：或许暗示e和π的发展初期可能按照某种彼此相反的规律发展，之后e和π都脱离了这个规律。

但是，由于2进制只用0和1来表示数，因而出现相同，倒序相同，栅栏重排相同的情况不足为奇，虽然这种情况不一定是巧合，但思辨性结论不是科学结论，不应该作为科学证据使用。

拓展阅读

圆周率π

黄金分割率φ

参考资料

阮一峰-自然常数e的含义

an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e

百度百科-超越数

知乎-自然对数的底“e”到底是怎么来的？

知乎-人们专门弄了一个自然对数函数的底数 e，是为什么？

知乎-古人是如何寻找到π的？