零知识证明

密码学中，零知识证明（英语：zero-knowledge proof）或零知识协议（zero-knowledge protocol）是一方（证明者）向另一方（检验者）证明某命题的方法，特点是过程中除“该命题为真”之事外，不泄露任何资讯。

因此，可理解成“零泄密证明”。

例如，欲向人证明自己拥有某情报，则直接公开该情报即可，但如此则会将该细节亦一并泄露；

零知识证明的精粹在于，如何证明自己拥有该情报而不必透露情报内容。这也是零知识证明的难点。

若该命题的证明，需要知悉某秘密方能作出，则检验者单凭目睹证明，而未获悉该秘密，仍无法向第三方证明该命题（即单单转述不足以证明）。

待证的命题中，必定包含证明者宣称自己知道该秘密，但过程中不能传达该秘密本身。

否则，协议完结时，已给予检验者有关命题的额外的资讯。此类“知识的零知识证明”是零知识证明的特例，其中待证命题仅有“证明者知道某事”。

交互式零知识证明中，需要各方互动，靠通讯过程证明某方具备某知识，而另一方检验该证明是否成立。

也有某种非交互式零知识证明，但证明之所以成立，依赖计算假设（典型假设是理想的密码杂凑函数）。

生活范例

以下有一个熟知的故事，总结零知识证明的若干重要概念。故事最早由Jean-Jacques Quisquater及同事发表于《如何向贵子弟解释零知识协议》。

设有小静（证明者）和阿严（验证者）两人。[注 1]

故事中，小静发现洞穴中某扇魔法门的开门暗号。洞穴呈环形，入口在一侧，对侧则有魔法门隔断。阿严想知小静是否已知该暗号，但小静很注重隐私，不希望泄露暗号予阿严，也不想全世界知道她有暗号之事。

两人分别将入口左右两条通道标示为A路、B路。首先，阿严在洞口外，待小静进入洞内。小静自行选择行A路或B路，但阿严不准窥视小静所选为何。然后，阿严行入洞穴，均匀随机喊出A路或B路，表明希望小静由该方向返回。假若小静确实知道暗号，则很易达成，因为即使起初所选不是同一条路，她也可以开门通过，从另一条路返回。

然而，若她其实不知道暗号，则祗有一半概率能从阿严所选的方向返回，因为阿严随机选A路和B路，恰有一半机会选中起初小静进入的方向。若两人重复以上过程，比如连续20次，则小静靠运气全部碰巧从正确方向返回的概率，将会很小（约一百万分之一）。

所以，若小静连续多次从阿严所选的方向返回，则阿严可以推断，小静很可能知道暗号。

以下考虑第三方的观点。即使假设阿严佩戴隐蔽的镜头，录影所见的整个过程，镜头所见亦只有阿严喊“A！”小静从A路返回；或阿严喊“B！”小静从B路返回。此种片段极易由两人共谋伪造（祗需小静与阿严事前商讨多次验证中阿严将选该串A、B的次序），从而对第三方而言，不具说服力，即阿严无法借此向第三方证明小静知道暗号。事实上，即使录影换成现场在阿严身旁监视亦同，因为两人可能一早已协调彩排好。

但是，若阿严在镜头前掷硬币，然后按该硬币喊A或B，则协议不再零知识。该段录影可能足以说服第三方，两人无法伪造，因为阿严难以准确掷出预定的AB次序。于是，虽然证明过程没有泄露暗号予阿严，但是阿严可借此说服世人，证明小静知道暗号，与小静起初的意欲完全相反。不过，数码的密码学中，“掷硬币”以伪随机数生成器实作，类似于一枚结果已预定好的硬币，但该结果（由其随机种子决定）仅有硬币主人知道。若阿严的硬币实际是以此法运作，则协议又回复为零知识协议，因为两人又有可能共同伪造“实验”结果，所以使用伪随机数生成器与掷真硬币不同，前者不会向世人泄露小静知道暗号。

还有另一种做法，小静以独一次实验已可向阿严证明自己知道暗号，而不泄漏。方法是，两人一同走入洞口，然后阿严目送小静沿A路走，没有原路折返，但从B路返回。如此，小静必然已向阿严证明自己知道暗号，而没有告知阿严暗号。不过此种证明亦非零知识：若第三方观察到过程，或阿严有录影，则该证明对第三方具说服力。换言之，小静无法宣称自己与阿严串通，所以无法向第三方说该证明无效。如此，小静无法控制何人得知她拥有暗号之事。

定义

零知识证明要具备下列三种性质：

完备（complete）

若所要证之事为真，则诚实（意即依协议行事）的证明者能说服诚实验证者。

健全（sound）

若命题为假，则作弊证明者仅得极小机会能说服诚实验证者该事为真。

零知识（zero-knowledge）

若命题为真，则验证者除此之外，过程中没有得悉任何其他资讯。

换言之，仅知命题为真（而不知秘密本身）已足以“想像”出一个交互的情境，其中证明者的确知道该秘密。此性质能严格定义为：每个验证者皆有相应的模拟器，输入欲证事实时，无需求助于证明者，已可输出一套通讯誊本，看似诚实验证者与证明者的通讯记录。

前两种性质，更广义的交互式证明系统亦应具备。第三种性质使该交互证明称为零知识。

零知识证明不算数学证明，因为尚允许有很少（但非零）概率，令作弊证明者能向验证者“证明”假命题。

该概率称为可靠度误差（soundness error）。换言之，零知识证明是概率“证明”，而非决定性。

不过，也有技巧将可靠度误差压到忽略不计。

零知识条件的变式

“零知识”的定义有若干变形，分别在于如何严谨定义模拟结果“看似”真实的交互记录：

完美零知识（perfect zero-knowledge）

模拟器与真正交互产生的概率分布完全相等。离散对数范例即属此类。

统计零知识（statistical zero-knowledge）

两个分布并非完全相等，但统计上接近，即有某个可忽略函数，使该两列分布[注 3]在任意集合取值的概率差，皆小于该函数。[8]

计算零知识（computational zero-knowledge）

无高效算法分辨两个分布。

应用

身份验证

零知识证明的研究，是受身份验证系统启发。验证时，一方要向另一方证明自己身份，通常藉赖证明自己持有某种袐密（如通行密码），但不希望对方知悉该袐密，称为零知识知识证明。

不过，通行密码一般不是太短，就是不够随机，不能用于许多零知识知识证明方案。零知识通行码证明就是有考量密码长度限制的一类零知识知识证明。

2015年4月，Sigma协议（“其中之一”证明，英语：one-out-of-many proofs）面世。

2021年8月，美国网络基建、安全公司Cloudflare采用该种证明机制，以供应方硬件为私人网络提供验证服务。

道德行为

密码学协议之中使用零知识证明，可以在不退让隐私的情况下，确保各方诚实。

粗略言之，方法是迫用户零知识地证明，其所作所为是依足协议。由健全性，用户必先确实跟从协议，才能服众。又由于证明是零知识，此过程并无犠牲用户的隐私。

核裁军

2016年，普林斯顿等离子物理实际室与普林斯顿大学展示一个技巧，或许适用于未来的核裁军谈判。

其特点是，无需揭露某物件内部的机密构造，亦可允许督查员判断该物件是否核武器。

区块链

零知识证明用于小零币与大零币协议中，最终于2016年发展成小零币（2020年改称飞熔币）和大零币两种加密货币。

小零币内置有混币模型，以确保匿名，且该模型无需信任任何对等用户或中央集权混币者。

用户可以用另一种基准币交易，也可以将该币卖出买入小零币。

大零币协议的模型也类似（该变式称为非交互式零知识证明），而且可以掩盖交易额，但小零币则不能。大零币的交易数据如此隐密，所以与小零币相比，较不易受到隐私计时攻击。不过，此层额外隐私，可能导致不能追踪假币，倘因此造成大零币供给的超通涨，可能无法侦测到。

2018年，防弹证明（bulletproofs）面世。其改进自非交互式零知识证明，不再需要可信的安装环境。

其后，实作成“结舌”协议（Mimblewimble protocol，Grin和Beam两种加密币皆出自该协议）和门罗币。

2019年，飞熔币实作Sigma协议，是对应小零币协议无可信环境的改进。

同年，飞熔币引入莱兰托斯协议（Lelantus protocol），更自Sigma协议改进，隐去交易的源头与金额。

沿革

零知识证明最早由莎菲·戈德瓦塞尔、希尔维奥·米卡利、查尔斯·拉克福三人于1985年发表，论文题为《交互式证明系统的知识复杂度》。

该论文引入交互式证明系统的IP复杂度类，并构想出“知识复杂度”概念，衡量证明过程中，由证明者传递予验证者的知识量。

三人亦给出首个具体问题的零知识证明，即零知识地证明某数不是模 m 的二次剩余。

连同鲍鲍伊·拉兹洛与什洛莫·莫兰的另一篇论文，戈-米-拉三氏的论文发明了交互式证明系统。为此，五人同获1993年首届哥德尔奖。

引述戈-米-拉三氏：

该额外知识基本为0的情况尤其值得关注。我等证明，可以交互地证明某数非模 m 的二次剩余，而释出零额外知识。其出奇之处是，若不给定 m 的分解，则无高效算法判别某数是否模 m 的二次剩余。更甚者，任何已知的NP证明皆要表明 m 的质因数分解。这就表明，在证明过程中添加互动，可能减少证明某定理所必须交流的知识。

二次非剩余问题既有NP算法又有反NP算法，故位处NP与反NP两类之交集中。其后找到有零知识证明的若干个问题，亦具同样的性质，例如欧迪·戈德赖希未经正式出版的证明系统，可以验证某数（为两个未知质数之积）不是布卢姆整数，即并非两个模4余3的质数之积。

欧迪·戈德赖希、希尔维奥·米卡利、阿维·威格森更进一步证明，假定存在无懈可击的加密法，则可以造出三色图着色问题的零知识证明系统，而该问题本身为NP完全。又因为每个NP问题都可以高效化归成该NP完全问题，所以在前述假定下，所有NP问题皆有零知识证明。

需要该假定的原因是，正如前节范例，需要有秘诺的手段。若存在单向函数，则的确有牢不可破的加密法。此为广泛引用的充分条件。另外也可能有物理方法实作。

更上一层楼，他们亦证明，图不同构问题，即图同构问题之补，有零知识证明。该问题已知属于反NP，但未知是否属于NP或其他实际可行的复杂度类。

更一般地，罗素·英帕利亚佐、莫迪凯·容二人，与米高·本-奥尔（Michael Ben-Or）及同事，两组证明：同样假设存在单向函数或牢不可破的加密，则任何属于IP（已证等于PSPACE）的问题，皆有零知识证明。换言之，任何命题若可藉交互系统证明，则可零知识证明。

许多理论家不希望假设不必要的条件，所以试图在不假定单向函数的条件之下，证明同样的结论。有种做法称为“多证明者交互式证明系统”（见交互式证明系统），即有多个独立的证明者，而非仅得一个。验证者可以将证明者逐个孤立，然后诘问，以免被作弊证明者误导。无需任何难解假设，已可证明在此系统中，任何NP问题皆有零知识证明。

后来发现，互联网等同时执行多个协议的环境中，较难构造零知识证明。研究并行零知识证明的先驱是辛西娅·德沃克、莫尼·纳奥尔、阿米特·萨海。

此类研究之中，重要成果有证据不可辨协议。与零知识相比，其性质较弱：可能有多种证据供证明者选择采用何者作证，此时仅要求验证者无法分辨证明者选择为何，但证明者可以泄漏部分资讯，如全体证据组成的集合。尽管失去零知识性质，但此类协议的好处是，并行时不会遇到此前提及的问题。

变式尚有非交互式零知识证明。曼纽尔·布卢姆、保罗·费尔德曼（Paul Feldman）、米卡利证明，若证明者与验证者共有一条随机字串，则可以达成计算零知识，而毋须交互。