前言

在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。

和大家分享一下。

是什么？

最小作用量原理（Principle of Least Action）是物理学中的一个基本原理，它描述了自然界中物体运动的规律。

该原理指出，在所有可能的运动轨迹中，真实的运动轨迹是作用量最小的轨迹。

它在经典力学、量子力学和相对论中都起着核心作用。

1. 作用量的定义

作用量（Action）是一个标量量，它是拉格朗日量（Lagrangian）的时间积分。拉格朗日量是一个物理系统的广义坐标、速度和时间的函数。对于一个物体，作用量可以表示为：

  [plaintext]
1
S = ∫ L(q, q̇, t) dt

其中：

  • S 是作用量
  • L 是拉格朗日量，L = T - V，其中 T 是动能，V 是势能
  • q 是广义坐标
  • q̇ 是广义速度（即坐标对时间的导数）
  • t 是时间

2. 拉格朗日方程

最小作用量原理与拉格朗日方程紧密相关。拉格朗日方程可以通过变分法从作用量原理导出。假设系统的动力学被广义坐标 q 表示，拉格朗日量 L 是 q 和 q̇ 的函数。最小作用量原理要求作用量 S 对于任何小的变动 δq(t) 都应该是最小的。这可以通过变分法写作：

  [plaintext]
1
δS = δ∫ L(q, q̇, t) dt = 0

通过对作用量求变分，我们得到拉格朗日方程：

  [plaintext]
1
d/dt(∂L/∂q̇) - ∂L/∂q = 0

这就是拉格朗日方程，描述了系统的运动方程。

3. 经典力学中的应用

在经典力学中，拉格朗日量通常定义为动能减去势能：

  [plaintext]
1
L = T - V

假设一个物体在一维空间中运动，其动能 T = (1/2)mv²，势能 V = V(x)，其中 m 是物体的质量，v 是速度，x 是位置。那么拉格朗日量可以写作：

  [plaintext]
1
L = (1/2)mv̇² - V(x)

最小作用量原理要求在物体从一个点到另一个点的过程中，路径使得作用量最小。通过拉格朗日方程，我们可以得到描述物体运动的方程，如牛顿的第二定律。

4. 量子力学中的最小作用量

在量子力学中，最小作用量原理可以通过费曼路径积分公式来表达。费曼提出，粒子从一个点到另一个点的所有路径都贡献一定的振幅，而这些振幅是根据作用量的不同计算的。最终的粒子行为是所有路径振幅的和，其中路径对应的作用量最小的路径在统计上占主导地位。

5. 相对论中的最小作用量

在相对论中，最小作用量原理也得到了扩展。对于相对论性的粒子，其作用量是由粒子的世界线在时空中的弯曲度量决定的。在这种情况下，拉格朗日量通常与粒子的动量和速度有关。相对论的最小作用量原理要求粒子的世界线使得作用量最小。

总结

最小作用量原理是物理学中一个深刻且普适的原理，它描述了物体运动的自然规律，无论是在经典力学、量子力学还是相对论中，都有其广泛的应用。

通过拉格朗日方程或费曼路径积分，我们可以推导出物理系统的运动规律，而这些规律最终都可以归结为作用量最小的原则。

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一些应用

最小作用量原理（Principle of Least Action）在物理学中有广泛而深刻的应用，除了在经典力学中应用之外，它在量子力学、广义相对论和其他领域也有许多有趣的应用。以下是几个令人印象深刻和有趣的应用：

1. 经典力学中的运动方程

最小作用量原理在经典力学中是推导运动方程的基础。例如，物体在力场中的运动可以通过拉格朗日方程从最小作用量原理导出。举个例子，考虑一个摆动的摆：

  • 摆的动能是 T = (1/2)mv²，势能是 V = mgh（h 是摆的高度）。
  • 通过最小作用量原理，作用量 S = ∫ L dt，L = T - V，能够推导出摆的运动方程。

这种方式不仅简化了方程的推导，而且提供了一种与力的直接关系不同的物理直观。

2. 光的折射与反射（费马原理）

光在不同介质中的传播遵循费马原理（Fermat’s Principle），这也是最小作用量原理的一个例子。费马原理指出：光从一点传播到另一点的路径，使得光程（传播时间）最短。

  • 通过最小化光的传播时间，我们可以得到光的折射和反射定律。
  • 例如，当光从空气进入水中时，它会沿着一条路径传播，使得从起点到终点的时间最短，这正是斯涅尔定律的来源。

3. 量子力学中的费曼路径积分

在量子力学中，最小作用量原理有一个深刻的应用——费曼路径积分（Feynman Path Integral）。根据这一原理，粒子从一个点到另一个点的路径不仅仅是一个经典轨迹，而是所有可能路径的叠加，每条路径都会贡献一个振幅。

  • 粒子通过路径的振幅与该路径的作用量相关，其中作用量越小的路径，其贡献越大。
  • 在量子力学中，这个概念帮助我们理解了量子粒子如何在不确定性和波动性下传播，从而推导出了量子物理中的概率分布。

4. 广义相对论中的最小作用量

在广义相对论中，最小作用量原理同样起着至关重要的作用。根据爱因斯坦-希尔伯特作用量（Einstein-Hilbert Action），我们可以导出描述引力的方程——爱因斯坦场方程。这个方程描述了物质如何影响时空的曲率，进而影响物体的运动。

  • 爱因斯坦场方程实际上是由时空的作用量最小化得来的，它是广义相对论的核心。
  • 这个原理不仅在描述引力时非常有用，还能应用于黑洞、引力波等研究。

5. 量子场论与粒子物理

在量子场论（Quantum Field Theory, QFT）中，最小作用量原理是建立量子场方程的基础。粒子被看作是量子场的激发，而场的运动遵循作用量最小的原则。

  • 通过作用量原理，量子场论能够导出粒子如何相互作用的方程，如电磁场和其他基本力的场方程。
  • 在粒子物理中，这帮助我们理解了粒子如何在相互作用中交换虚粒子，以及如何描述这些相互作用的强度和性质。

6. 引力波的预测与实验验证

根据广义相对论，引力波是由质量和能量的变化引起的时空波动。最小作用量原理帮助我们理解了时空如何弯曲，进而推导出引力波的方程。通过对这些方程的求解，我们可以预测引力波的存在。

  • 2015年，LIGO实验首次直接探测到了引力波，这一发现验证了最小作用量原理在引力波传播中的应用。
  • 这个实验不仅为爱因斯坦的广义相对论提供了强有力的证据，也开启了天文学的新领域。

7. 电磁学中的洛伦兹力公式

在电磁学中，最小作用量原理也能够推导出洛伦兹力公式。洛伦兹力公式描述了带电粒子在电磁场中的受力情况。通过构造电磁场的拉格朗日量，并要求作用量最小，可以得到这一公式。

  • 拉格朗日量 L = T - V，其中电磁势能 V 包含了电场和磁场的相互作用。
  • 最小作用量原理帮助我们推导出粒子在电磁场中的运动方程。

8. 天体力学中的轨道计算

天体力学中的轨道计算，如行星在太阳引力下的运动，也可以通过最小作用量原理来求解。使用拉格朗日方法，我们可以描述行星如何绕太阳运动，导出开普勒定律以及牛顿引力定律。

  • 天体的轨道是通过最小化作用量（即引力势能与动能的差）的原则来计算的。
  • 这一原理对于计算行星、卫星的轨道非常重要，尤其是在航天任务中。

9. 超弦理论中的应用

在更高层次的理论物理中，如超弦理论（String Theory），最小作用量原理依然是构建理论框架的基础。弦的振动模式、引力波的传播、以及其他力的相互作用都可以通过最小作用量的原则来描述。

  • 在弦理论中，弦的行动量可以用拉格朗日量表示，最小作用量原理帮助我们理解弦的行为和宇宙的基本结构。

总结

最小作用量原理不仅是物理学中的一个核心概念，它还贯穿了从经典力学到现代物理（如量子力学和广义相对论）的多个领域。通过对作用量最小化的要求，科学家们能够推导出物体运动的方程、粒子相互作用的规律，甚至是宇宙的宏观结构。这个原理不仅令人惊叹于其普适性，还为我们提供了理解自然界规律的一种深刻而统一的视角。

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在这个路径积分的模拟中，我们通过随机生成多个路径，模拟粒子的随机运动。每条路径的起点相同，但终点不同。模拟的结果会在页面上绘制出来。

总结

通过上述两个例子，我们展示了如何在网页上结合 JavaScript 和 HTML5 Canvas 来模拟与最小作用量原理相关的物理现象。这些应用不仅让我们通过编程理解物理原理，还能通过交互式的方式展示物理现象和优化问题的解决方案。

你可以根据这些基础，进一步扩展模拟的复杂度，例如加入更多的物理力场、加入更多复杂的物理定律，甚至模拟量子系统的行为。

参考资料