在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
最小作用量原理（Principle of Least Action）是物理学中的一个基本原理，它描述了自然界中物体运动的规律。
该原理指出，在所有可能的运动轨迹中，真实的运动轨迹是作用量最小的轨迹。
它在经典力学、量子力学和相对论中都起着核心作用。
作用量（Action）是一个标量量，它是拉格朗日量（Lagrangian）的时间积分。拉格朗日量是一个物理系统的广义坐标、速度和时间的函数。对于一个物体，作用量可以表示为：
在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
是的，双摆系统（Double Pendulum）是一个典型的混动系统（nonlinear dynamic system），具体来说，它是一个非线性动力学系统，具有复杂的动力学行为，尤其是在某些条件下表现出高度敏感的混沌现象。
在物理学中，双摆系统由两个连接的摆组成，其中第一个摆挂在固定点上，第二个摆通过第一个摆的末端挂起。
这个系统的运动方程是由两个互相耦合的二阶非线性常微分方程组成，且由于存在多种相互作用力（如重力、摆臂的相互作用等），该系统通常表现出以下特征：
在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
弹跳球模拟
body {
margin: 0;
padding: 0;
overflow: hidden;
background-color: #f0f0f0;
}
canvas {
display: block;
background-color: #fff;
}
const canvas = document.getElementById('ballCanvas');
const ctx = canvas.getContext('2d');
const g = 0.2; // 重力加速度
const damping = 0.9; // 弹性碰撞的能量损失系数
let width, height;
// 设置canvas尺寸
function resizeCanvas() {
width = window.innerWidth;
height = window.innerHeight;
canvas.width = width;
canvas.height = height;
}
// 球体属性
let ball = {
x: 0, // 初始X位置
y: 0, // 初始Y位置
radius: 20, // 半径
vx: 3, // X轴速度
vy: -10, // Y轴速度（向上）
color: 'red' // 球的颜色
};
// 更新球的位置和速度
function updateBall() {
// 更新速度（考虑重力）
ball.vy += g;
// 更新位置
ball.x += ball.vx;
ball.y += ball.vy;
// 碰到地面，反弹
if (ball.y + ball.radius > height) {
ball.y = height - ball.radius; // 保证球不穿过地面
ball.vy = -ball.vy * damping; // 反向速度并减小弹性
}
// 碰到左右边界，反弹
if (ball.x + ball.radius > width || ball.x - ball.radius < 0) {
ball.vx = -ball.vx * damping;
}
}
// 绘制球体
function drawBall() {
ctx.clearRect(0, 0, width, height); // 清空画布
ctx.beginPath();
ctx.arc(ball.x, ball.y, ball.radius, 0, Math.PI * 2);
ctx.fillStyle = ball.color;
ctx.fill();
ctx.closePath();
}
// 动画循环
function animate() {
updateBall();
drawBall();
requestAnimationFrame(animate);
}
// 初始化
function init() {
resizeCanvas(); // 确保先设置canvas尺寸
ball.x = width / 2; // 使用动态的canvas宽度
ball.y = height / 2; // 使用动态的canvas高度
animate();
}
// 调整窗口大小时重新设置canvas
window.addEventListener('resize', resizeCanvas);
init();在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
路径积分是量子力学中的概念，在这个例子中，我们模拟多个粒子的路径，展示它们的随机运动。
Path Integral Simulation
canvas {
border: 1px solid black;
background-color: #f0f0f0;
}
Path Integral Simulation
// 设置Canvas和绘图上下文
const canvas = document.getElementById("canvas");
const ctx = canvas.getContext("2d");
const numPaths = 1000; // 模拟的路径数
const timeSteps = 100; // 每条路径的时间步数
const maxDisplacement = 10; // 最大位移
function pathIntegral(numPaths, timeSteps) {
const paths = [];
for (let i = 0; i {
ctx.beginPath();
path.forEach((point, index) => {
if (index === 0) {
ctx.moveTo(point.x, point.y);
} else {
ctx.lineTo(point.x, point.y);
}
});
ctx.strokeStyle = 'blue';
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.stroke();
});
}
// 启动路径积分模拟
const paths = pathIntegral(numPaths, timeSteps);
drawPaths(paths);在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
将最小作用量原理（Principle of Least Action）和编程结合，可以延伸到许多有趣和有用的领域。
除了物理模拟和优化问题外，还可以应用到以下几个领域，下面是一些更为有趣的编程实现，可以帮助你理解最小作用量原理在不同领域的应用。
在计算机图形学和仿真中，最小作用量原理可用于模拟粒子系统和群体行为。
例如，在生命游戏、粒子动画或群体智能模拟中，个体或粒子在不断地寻找“最优”状态，最终形成一种平衡。
在网上刷到了最小作用量的视频，感觉很有趣。
和大家分享一下。
最小作用量原理也可以用来优化路径规划，尤其是在机器人导航中。
例如，机器人在寻找路径时，可以通过最小化能量消耗来确定最优路线。
Robot Path Optimization
canvas { border: 1px solid black; background-color: #f0f0f0; }
Robot Path Optimization
const canvas = document.getElementById("canvas");
const ctx = canvas.getContext("2d");
let start = { x: 50, y: 350 };
let end = { x: 550, y: 50 };
let path = [start]; // 初始路径
// 计算路径上的每个点
function generatePath() {
let currentPos = { ...start };
let stepSize = 10;
let angleStep = Math.PI / 8; // 角度步进
while (Math.abs(currentPos.x - end.x) > stepSize || Math.abs(currentPos.y - end.y) > stepSize) {
let angle = Math.atan2(end.y - currentPos.y, end.x - currentPos.x);
currentPos.x += Math.cos(angle) * stepSize;
currentPos.y += Math.sin(angle) * stepSize;
path.push({ ...currentPos });
}
}
// 绘制路径
function drawPath() {
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(path[0].x, path[0].y);
path.forEach(point => {
ctx.lineTo(point.x, point.y);
});
ctx.strokeStyle = 'blue';
ctx.lineWidth = 2;
ctx.stroke();
}
// 绘制起点和终点
function drawStartAndEnd() {
ctx.beginPath();
ctx.arc(start.x, start.y, 10, 0, Math.PI * 2);
ctx.fillStyle = 'green';
ctx.fill();
ctx.beginPath();
ctx.arc(end.x, end.y, 10, 0, Math.PI * 2);
ctx.fillStyle = 'red';
ctx.fill();
}
// 开始路径生成和绘制
generatePath();
drawStartAndEnd();
drawPath();数学中的圆周率 π 我们在很小的时候，就学习了。
圆周率 = 圆的周长 / 圆的直径。
我们也都背的很熟，π = 3.1415926...
那么今天我们来进一步学习一下，如果想尽可能精确地计算圆周率 pi，应该怎么实现呢？
圆周率（π）的历史在中国可以追溯到古代，当时的数学家们已经开始探索并计算这个重要的数学常数。
以下是中国圆周率历史的一些重要里程碑：
《周髀算经》：这是一部最晚成书于公元前1世纪的中国早期数学著作，其中明确指出：“圆径一而周三”，即π的近似值为3。虽然这个比值不够精确，但它包含了明确的圆周率概念。
《九章算术》：成书于东汉时期，是中国第一部数学专著。在计算圆的面积、圆柱和圆锥的体积时，使用了π=3的近似值。
HMM 的应用场景有很多，我们首先来谈一谈如何实现中文分词。
本文假设读者已经对HMM有所了解，很多地方会直接提出相关概念。
理解前向算法，维特比算法是关键，关于无监督学习HMM的Baum-Welch算法在本文中没有使用，至少了解它的作用即可。
总所周知，在汉语中，词与词之间不存在分隔符（英文中，词与词之间用空格分隔，这是天然的分词标记），词本身也缺乏明显的形态标记，因此，中文信息处理的特有问题就是如何将汉语的字串分割为合理的词语序。
例如，英文句子：you should go to kindergarten now 天然的空格已然将词分好，只需要去除其中的介词“to”即可；
词性标注（Part-of-Speech tagging 或 POS tagging)是指对于句子中的每个词都指派一个合适的词性，也就是要确定每个词是名词、动词、形容词或其他词性的过程，又称词类标注或者简称标注。
词性标注是自然语言处理中的一项基础任务，在语音识别、信息检索及自然语言处理的许多领域都发挥着重要的作用。
因此，在关于自然语言处理的书籍中，都会将词性标注单列一章重点讲解，对此有兴趣的读者可参考《自然语言处理综论》第一版第8章或《统计自然语言处理基础》第10章，本文部分内容也参考自这两本自然语言处理的经典书籍。
我们以Brown语料库中的句子为例，词性标注的任务指的是，对于输入句子：
i. 任务（Task）: 在句子中为每个词标上合适的词性（Label each word in a sentence with its appropriate part of speech）
ii. 输入（Input）: Our enemies are innovative and resourceful , and so are we. They never stop thinking about new ways to harm our country and our people, and neither do we.