二分查找算法
大家好，我是老马。
今天我们一起来学习一下数组密切相关的二分查找算法力扣实战。
我们来看一下二分法在某个值的范围内，寻找最小/最大满足条件的值的场景。
1011. 在 D 天内送达包裹的能力
传送带上的包裹必须在 days 天内从一个港口运送到另一个港口。
传送带上的第 i 个包裹的重量为 weights[i]。
每一天，我们都会按给出重量（weights）的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。
返回能在 days 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。
示例 1：
输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], days = 5 输出：15 解释： 船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示： 第 1 天：1, 2, 3, 4, 5 第 2 天：6, 7 第 3 天：8 第 4 天：9 第 5 天：10
请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。
示例 2：
输入：weights = [3,2,2,4,1,4], days = 3 输出：6 解释： 船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示： 第 1 天：3, 2 第 2 天：2, 4 第 3 天：1, 4
示例 3：
输入：weights = [1,2,3,1,1], days = 4 输出：3 解释： 第 1 天：1 第 2 天：2 第 3 天：3 第 4 天：1, 1
提示：
1 <= days <= weights.length <= 5 * 10^4 1 <= weights[i] <= 500
v1-暴力循环
思路
最朴素的暴力循环的方式
我们首先想办法，确定船的承受重量上下限。
但是这一题和 T875 爱吃香蕉的珂珂还是不同的。这个货物的重量不允许排序，必须按照给出的顺序来处理。
最朴素的思想，然后才考虑优化问题
1）最小值
必须要能放下最大的货物？不然一个就会运不了
min = max(weights[i])
2) 最大值
最多其实到把所有的货物一次性装完？
max = sum(weights[i])
因为我们是从 min 到 max 逐步处理的，上限主要会影响到二分法。
那么，对于 days 的作用呢？
解法
暴力的话其实没有什么技巧，全是对结题的渴望。
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
// 最小
long left = 0;
// 最大
long right = 0;
for(int weight : weights) {
left = Math.max(weight, left);
// 会不会越界？
right += weight;
}
// force
for(long weightLimit = left; weightLimit <= right; weightLimit++) {
// 计算的是天数？
long totalDays = 0;
long tempWeight = 0;
for(int weight : weights) {
// 超出+1 清空
if(tempWeight + weight > weightLimit) {
totalDays++;
tempWeight = 0;
// 快速失败
if(totalDays > days) {
break;
}
}
// 继续增加
tempWeight += weight;
// 快速失败
}
// 剩余的
if(tempWeight > 0) {
totalDays++;
}
// 满足
if(totalDays <= days) {
return Math.toIntExact(weightLimit);
}
}
return -1;
}
效果
超出时间限制 85 / 88 个通过的测试用例
超时意料之中。
我们先不对上限做任何优化，尝试一下二分法。
v2-二分法迭代
思路
我们知道了范围之后，一步步的迭代，自然是最慢的。
那么有没有更快的方法？
相信大家会自然的联想到二分法来解决。
这里有一个注意点：
1）要求的是 days 内的最小值，所以返回条件不是等于。和 T853 类似。
解法
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
// 最小
long left = 0;
// 最大
long right = 0;
for(int weight : weights) {
left = Math.max(weight, left);
// 会不会越界？
right += weight;
}
while (left <= right) {
int mid = Math.toIntExact(left + (right - left) / 2);
int totalDays = calcTotalDays(weights, days, mid);
// 满足条件的最小值 继续向左边去
if(totalDays <= days) {
right = mid-1;
} else {
left = mid+1;
}
}
return Math.toIntExact(left);
}
private int calcTotalDays(int[] weights, int days, int weightLimit) {
long totalDays = 0;
long tempWeight = 0;
for(int weight : weights) {
// 超出+1 清空
if(tempWeight + weight > weightLimit) {
totalDays++;
tempWeight = 0;
// 快速失败
if(totalDays > days) {
break;
}
}
// 继续增加
tempWeight += weight;
}
// 剩余的
if(tempWeight > 0) {
totalDays++;
}
return Math.toIntExact(totalDays);
}
效果
13ms 击败 46.08%
这个上限要如何优化呢？
看了下别人的优化策略，主要是 right 的区别。
int n = weights.length;
int max = 0;
for(int x : weights){
max = Math.max(max,x);
}
int left = max,right = ((n + days - 1)/days) * max;
这种估算的优势问题还是在于测试用例不平均导致的。
比如场景：
weights = [1, 1, 1, 1000]
days = 2
用我们 sum=1003
但是用 ((n + days - 1)/days) * max = ((4+2-1) / 2) * 1000 = 2000
实际上并不会比我们的 sum 有多少优势。
个人理解没必要因为测试用例的不均匀，而调整算法本身。
如果货物均匀，这种优化则是有必要的。
或者我们将其整合起来。
实现
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
int n = weights.length;
int max = 0;
int sum = 0;
for(int x : weights){
max = Math.max(max,x);
sum += x;
}
// 比较均匀时
int avgRight = ((n + days - 1)/days) * max;
int left = max;
// 取二者最小值
int right = Math.min(avgRight, sum);
while (left <= right) {
int mid = Math.toIntExact(left + (right - left) / 2);
int totalDays = calcTotalDays(weights, days, mid);
// 满足条件的最小值 继续向左边去
if(totalDays <= days) {
right = mid-1;
} else {
left = mid+1;
}
}
return Math.toIntExact(left);
}
private int calcTotalDays(int[] weights, int days, int weightLimit) {
long totalDays = 0;
long tempWeight = 0;
for(int weight : weights) {
// 超出+1 清空
if(tempWeight + weight > weightLimit) {
totalDays++;
tempWeight = 0;
// 快速失败
if(totalDays > days) {
break;
}
}
// 继续增加
tempWeight += weight;
}
// 剩余的
if(tempWeight > 0) {
totalDays++;
}
return Math.toIntExact(totalDays);
}
效果
8ms 击败 96.79%
v3-递归
按照老马的个人惯例，我们先把递归补全。
思路
类似的，我们可以给出递归版本
实现
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
// 最小
int left = 0;
// 最大
int right = 0;
for(int weight : weights) {
left = Math.max(weight, left);
// 会不会越界？
right += weight;
}
return shipWithinDaysRecursive(weights, days, left, right);
}
private int shipWithinDaysRecursive(int[] weights, int days, int left, int right) {
// end
if(left > right) {
return left;
}
int mid = Math.toIntExact(left + (right - left) / 2);
int totalDays = calcTotalDays(weights, days, mid);
// 满足条件的最小值 继续向左边去
if(totalDays <= days) {
return shipWithinDaysRecursive(weights, days, left, mid-1);
} else {
return shipWithinDaysRecursive(weights, days, mid+1, right);
}
}
private int calcTotalDays(int[] weights, int days, int weightLimit) {
long totalDays = 0;
long tempWeight = 0;
for(int weight : weights) {
// 超出+1 清空
if(tempWeight + weight > weightLimit) {
totalDays++;
tempWeight = 0;
// 快速失败
if(totalDays > days) {
break;
}
}
// 继续增加
tempWeight += weight;
}
// 剩余的
if(tempWeight > 0) {
totalDays++;
}
return Math.toIntExact(totalDays);
}
效果
13 ms 击败 46.08%
补充-可视化效果
项目开源
小结
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下一节我们将讲解二分的实战题目，感兴趣的小伙伴可以关注一波，精彩内容，不容错过。
参考资料
https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/
