【leetcode】017-33. 搜索旋转排序数组 Search in Rotated Sorted Array + 81. Search in Rotated Sorted Array II + 153. Find Minimum in Rotated Sorted Array 寻找旋转排序数组中的最小值 + 154.Find Minimum in Rotated Sorted Array II

33. 搜索旋转排序数组 Search in Rotated Sorted Array

题目

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], …, nums[n-1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。

例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

例子

示例 1：

  [plaintext]

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输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

示例 2：

  [plaintext]

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输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

示例 3：

  [plaintext]

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输入：nums = [1], target = 0
输出：-1
``` 

提示：

1 <= nums.length <= 5000

-10^4 <= nums[i] <= 10^4

nums 中的每个值都 独一无二

题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转

-10^4 <= target <= 10^4

## v1-二分法青春版

### 思路

[0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

我们首先应该找到这个数组旋转的位置 k，然后把数组分为 2 个部分，这样依然是有序的。

然后采用分别二分法查询即可。

### 实现

```java
    /**
     * Input: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
     * Output: 4
     * @param nums
     * @param target
     * @return
     */
    public int search(int[] nums, int target) {
        // 没有旋转，或者全部旋转
        int randomK = getRandomK(nums);
        if(-1 == randomK) {
            return binarySearch(nums, target, 0, nums.length-1);
        }

        // 将数组拆成2个部分
        // 4 5 6 7 0 1 2 => [4 5 6 7] [0 1 2]
        // 3 1 ==> [3] [1]
        int leftIndex = binarySearch(nums, target, 0, randomK);
        if(leftIndex != -1) {
            return leftIndex;
        }

        // 右边寻找
        int rightIndex = binarySearch(nums, target, randomK+1, nums.length-1);
        if(rightIndex != -1) {
            return rightIndex;
        }


        // 如果不存在
        return -1;
    }

    /**
     * 获取随机数
     *
     * 寻找 k > k+i 的位置
     *
     * [4,5,6,7,0,1,2]
     * @param nums 数组
     * @return 变化的长度
     * @since v33
     */
    private int getRandomK(final int[] nums) {
        for(int i = 0; i < nums.length-1; i++) {
            if(nums[i] > nums[i+1]) {
                return i;
            }
        }

        // 根据顺序找到即可
        return -1;
    }

    /**
     * 二分查询
     * <p>
     * 备注：ASC
     *
     * @param nums   原始数组
     * @param target 目标值
     * @return 结果
     * @since v33
     */
    private static int binarySearch(int[] nums, int target, int low, int high) {
        while (low <= high) {
            int mid = (high+low)/2;
            int midVal = nums[mid];

            // 刚好相等
            if (target == midVal) {
                return mid;
            } else if (target > midVal) {
                // 当前信息偏小
                low = mid+1;
            } else {
                // 数据偏大
                high = mid-1;
            }
        }

        //NOT FOUND
        return -1;
    }

评价

这个算法思路没有问题。

但是在计算 random-k 的时候，最差的复杂度为 O(N)。所以值得进一步优化。

v2-二分法

思路

对于有序数组，可以使用二分查找的方法查找元素。

但是这道题中，数组本身不是有序的，进行旋转后只保证了数组的局部是有序的，这还能进行二分查找吗？答案是可以的。

可以发现的是，我们将数组从中间分开成左右两部分的时候，一定有一部分的数组是有序的。

拿示例来看，我们从 6 这个位置分开以后数组变成了 [4, 5, 6] 和 [7, 0, 1, 2] 两个部分，其中左边 [4, 5, 6] 这个部分的数组是有序的，其他也是如此。

这启示我们可以在常规二分查找的时候查看当前 mid 为分割位置分割出来的两个部分 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们该如何改变二分查找的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出 target 在不在这个部分：

如果 [l, mid - 1] 是有序数组，且 target 的大小满足 [nums[l], nums[mid]]，则我们应该将搜索范围缩小至 [l, mid-1]，否则在 [mid + 1, r] 中寻找。

如果 [mid, r] 是有序数组，且 target 的大小满足 [nums[mid+1], nums[r]]，则我们应该将搜索范围缩小至 [mid + 1, r]，否则在 [l, mid - 1] 中寻找。

java 实现

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    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        if (n == 0) {
            return -1;
        }
        if (n == 1) {
            return nums[0] == target ? 0 : -1;
        }
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            if (nums[0] <= nums[mid]) {
                if (nums[0] <= target && target < nums[mid]) {
                    r = mid - 1;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            } else {
                if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) {
                    l = mid + 1;
                } else {
                    r = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

复杂度

时间复杂度： O(logn)，其中 n 为 nums 数组的大小。整个算法时间复杂度即为二分查找的时间复杂度 O(logn)。

空间复杂度： O(1)。我们只需要常数级别的空间存放变量。

81. 搜索旋转排序数组 II Search in Rotated Sorted Array II

题目

已知存在一个按非降序排列的整数数组 nums ，数组中的值不必互不相同。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转 ，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], …, nums[n-1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。

例如， [0,1,2,4,4,4,5,6,6,7] 在下标 5 处经旋转后可能变为 [4,5,6,6,7,0,1,2,4,4] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，请你编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回 true ，否则返回 false 。

你必须尽可能减少整个操作步骤。

例子

示例 1：

  [plaintext]

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输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 0
输出：true

示例 2：

  [plaintext]

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输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 3
输出：false
``` 

进阶：

这是 搜索旋转排序数组 的延伸题目，本题中的 nums  可能包含重复元素。

这会影响到程序的时间复杂度吗？会有怎样的影响，为什么？

## 思路

整体和 T33 类似，但是因为包含重复元素，所以略微复杂些。

对于数组中有重复元素的情况，二分查找时可能会有 `a[l]=a[mid]=a[r]`，此时无法判断区间 [l,mid] 和区间 [mid+1,r] 哪个是有序的。

例如 nums=[3,1,2,3,3,3,3]，target=2，首次二分时无法判断区间 [0,3] 和区间 [4,6] 哪个是有序的。

对于这种情况，我们只能将当前二分区间的左边界加一，右边界减一，然后在新区间上继续二分查找。

## java 实现

```java
public boolean search(int[] nums, int target) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) {
        return false;
    }
    if (n == 1) {
        return nums[0] == target;
    }
    int l = 0, r = n - 1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return true;
        }

        // 处理一下
        if (nums[l] == nums[mid] && nums[mid] == nums[r]) {
            ++l;
            --r;
        } else if (nums[l] <= nums[mid]) {
            if (nums[l] <= target && target < nums[mid]) {
                r = mid - 1;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        } else {
            if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
    }
    return false;
}

复杂度

时间复杂度： O(logn)，其中 n 为 nums 数组的大小。整个算法时间复杂度即为二分查找的时间复杂度 O(logn)。

空间复杂度： O(1)。我们只需要常数级别的空间存放变量。

153. 寻找旋转排序数组中的最小值

题目

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]

若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], …, a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

例子

示例 1：

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输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

  [plaintext]

1
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3
输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

  [plaintext]

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输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
``` 

提示：

n == nums.length

1 <= n <= 5000

-5000 <= nums[i] <= 5000

nums 中的所有整数 互不相同

nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

## 思路

还是那句话，有序的数组，查找元素使用二分法！

但是问题是，已经被旋转了，还能使用吗？

The minimum element must satisfy one of two conditions:

[4,5,6,7,0,1,2]

1) If rotate, A[min] < A[min - 1];

2) If not, A[0].

Therefore, we can use binary search: check the middle element, if it is less than previous one, then it is minimum.

If not, there are 2 conditions as well: If it is greater than both left and right element, then minimum element should be on its right, otherwise on its left.

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## java 实现

```java
public int findMin(int[] nums) {
    int start = 0;
    int end = nums.length - 1;
    while (start < end) {
        int mid = (start +end) / 2;

        // 如果是旋转的场景。不旋转的话，一定大于前面
        // [4,5,6,7,0,1,2]
        if(mid > 0 &&
                nums[mid] < nums[mid-1]) {
            return nums[mid];
        }

        // 如果当前元素比2边都大，那就是右边。
        if(nums[mid] >= nums[start]
            && nums[mid] >= nums[end]) {
            start = mid+1;
        } else {
            end = mid-1;
        }
    }

    return nums[start];
}

154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II

题目

和 153 类似，编程数组中的元素可能重复。

思路

首先，我们取 low = 0, high = nums.length-1

0 1 2 3 4

1）默认情况下，如果 nums[lo] < nums[hi] 那么我们返回 nums[lo] 因为数组从未旋转过，或者旋转过 n 次。

2）进入while循环后，我们检查

if nums[mid] > nums[hi] => lo = mid + 1 因为最小元素在数组的右半部分

2 3 4 0 1

else if nums[mid] < nums[hi] => hi = mid 因为最小元素在数组的左半部分

7 0 1 2 3 4 5 6

else => hi-- 处理重复值

然后我们返回 nums[hi]

java 实现

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public int findMin(int[] nums) {
    int low = 0, high = nums.length-1;
    // default
    if(nums[low] < nums[high]) {
        return nums[low];
    }

    while (low < high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        //1. 大于最大,在右边
        if(nums[mid] > nums[high]) {
            low = mid+1;
        } else if(nums[mid] < nums[high]) {
            //2. 小于最大，则在左边
            high = mid;
        } else {
            // 重复
            high--;
        }
    }
    return nums[high];
}

小结

可以看到有序的数组，再处理一个元素的时候，我们首先应该使用二分法。

只不过会有一些限制，但是核心思路不会变化。

开源地址

为了便于大家学习，所有实现均已开源。欢迎 fork + star~

https://github.com/houbb/leetcode

参考资料

https://leetcode.cn/problems/search-in-rotated-sorted-array/

https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

• 33. 搜索旋转排序数组 Search in Rotated Sorted Array
  • 题目
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