缘起

一个不会解的问题

https://leetcode.com/problems/combination-sum/

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。

解集不能包含重复的组合。 

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
  [7],
  [2,2,3]
]

示例 2：

输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

 

提示：

1 <= candidates.length <= 30 1 <= candidates[i] <= 200 candidate 中的每个元素都是独一无二的。 1 <= target <= 500

最简单的思路

首先对列表进行排序。

然后遍历获取对应的子元素。

但是就存在两个问题：

（1）如何知道一个数，是由那些元素的和组成的呢？

（2）如何可以重复添加呢？

发现如果只是简单的穷举，这一题基本是废了。

分析思路

根据示例 1：输入: candidates = [2, 3, 6, 7]，target = 7。

  1. 候选数组里有 2，如果找到了组合总和为 7 - 2 = 5 的所有组合，再在之前加上 2 ，就是 7 的所有组合；

  2. 同理考虑 3，如果找到了组合总和为 7 - 3 = 4 的所有组合，再在之前加上 3 ，就是 7 的所有组合，依次这样找下去。

ps：这样思考的好处就是将问题简单化，一个数 = 数1 + 数2（组合）。其中数1在列表中，我们只需要找到所有 数2 的组合即可。有一点递归的味道。

树型图

以输入：candidates = [2, 3, 6, 7], target = 7 为例：

树型图

说明：

以 target = 7 为 根结点 ，创建一个分支的时 做减法 ；

每一个箭头表示：从父亲结点的数值减去边上的数值，得到孩子结点的数值。边的值就是题目中给出的 candidate 数组的每个元素的值；

减到 0 或者负数的时候停止，即：结点 0 和负数结点成为叶子结点；

所有从根结点到结点 0 的路径（只能从上往下，没有回路）就是题目要找的一个结果。

这棵树有 4 个叶子结点的值 0，对应的路径列表是 [[2, 2, 3], [2, 3, 2], [3, 2, 2], [7]]，而示例中给出的输出只有 [[7], [2, 2, 3]]。

即：题目中要求每一个符合要求的解是 不计算顺序 的。

下面我们分析为什么会产生重复。

数据为什么重复

产生重复的原因是：在每一个结点，做减法，展开分支的时候，由于题目中说 每一个元素可以重复使用，我们考虑了 所有的 候选数，因此出现了重复的列表。

hash 去重

一种简单的去重方案是借助哈希表的天然去重的功能，但实际操作一下，就会发现并没有那么容易。

ps: 也不是不能做，但是感觉性能会比较差。

个人思路：

（1）获取到所有的结果列表，尚未去重

（2）去每一个列表进行排序

（3）重新添加到列表中时，移除完全一致的列表。

搜索去重

可不可以在搜索的时候就去重呢？

答案是可以的。

遇到这一类相同元素不计算顺序的问题，我们在搜索的时候就需要 按某种顺序搜索。

具体的做法是：每一次搜索的时候设置 下一轮搜索的起点 begin，请看下图。

搜索去重

即：从每一层的第 2 个结点开始，都不能再搜索产生同一层结点已经使用过的 candidate 里的元素。

ps: 因为每一个分支，都是把所有的可能罗列出来（不遗漏），我们后面的禁止使用已经使用的，就可以保证不重复了。

剪枝提速

根据上面画树形图的经验，如果 target 减去一个数得到负数，那么减去一个更大的树依然是负数，同样搜索不到结果。

基于这个想法，我们可以对输入数组进行排序，添加相关逻辑达到进一步剪枝的目的；

排序是为了提高搜索速度，对于解决这个问题来说非必要。但是搜索问题一般复杂度较高，能剪枝就尽量剪枝。

实际工作中如果遇到两种方案拿捏不准的情况，都试一下。

只有这一种方式吗？

感觉不需要排序+剪枝吧，把递归结束条件写在方法最前面 if(target < 0 || candidates == null || candidates.length == 0){ return; } 不是一样？

假如数组的长度很长，排序反而耗时。

代码实现

最经典的实现如下：

/**
 * 思路：
 *
 * （1）回溯
 * （2）剪枝算法优化
 *
 * @author https://github.com/houbb/
 * @param candidates 候选集
 * @param target 目标值
 * @return 结果
 */
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
    //1. 排序，是为了剪枝算法。实际不是必要的
    Arrays.sort(candidates);

    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    // 核心算法
    backtrack(results, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
    return results;
}
/**
 * 回溯算法
 * @param results 结果
 * @param tempList 临时列表
 * @param candidates 候选数组
 * @param remain 剩余值
 * @param begin 开始索引
 * @since v38
 */
private void backtrack(List<List<Integer>> results, List<Integer> tempList,
                       int[] candidates, int remain, int begin) {
    //1. 如果小于0，直接剪枝
    if(remain < 0) {
        return;
    } else if(remain == 0) {
        // 需要的结果（使用一个新的列表，而不是直接存放原始列表，否则数据会被更新）
        results.add(new ArrayList<>(tempList));
    } else {
        // 在所有的剩余集合中，选择信息
        for(int i = begin; i < candidates.length; i++) {
            // 放入目标元素
            tempList.add(candidates[i]);
            // 继续拆分剩余的集合组合
            // 从 第 i 个元素开始，因为允许重复使用
            backtrack(results, tempList, candidates, remain - candidates[i], i);
            // 回溯
            tempList.remove(tempList.size()-1);
        }
    }
}

经过实际测试，Arrays.sort(candidates); 在这里并不是必需的。

还能优化吗？

当然，还是有优化的空间的。

那就是上面的算法，实际上有两步：

  1. 执行 remain-candidates[i]

  2. 判断 remain < 0

实际上可以优化一下，减少一次运算：

实现如下：

/**
 * 思路：
 *
 * （1）回溯
 * （2）剪枝算法优化
 *
 * @author https://github.com/houbb/
 * @param candidates 候选集
 * @param target 目标值
 * @return 结果
 */
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    backtrack(candidates, target, new ArrayList<>(), 0, results);
    return results;
}

private void backtrack(int[] candidates, int remain, List<Integer> tempList,
                      int begin, List<List<Integer>> results) {
    if (remain == 0) {
        results.add(new ArrayList<>(tempList));
        return;
    }
    for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
        // 这里实际上优化了 2 步：
        // 1. candidates 排序并不是必须的
        // 2. 单次回溯，根据大小判断，避免一次减法+大小比较
        int current = candidates[i];
        if (remain >= current) {
            tempList.add(current);
            // 元素可以重复使用，所以取 i
            backtrack(candidates, remain - current, tempList, i, results);
            tempList.remove(tempList.size() - 1);
        }
    }
}

题目的变形

如果不允许重复取出元素呢？

实际上，这里我们就需要排序了。

经典实现如下：

/**
 * 思路：
 *
 * （1）回溯
 * （2）剪枝算法优化
 *
 * @author https://github.com/houbb/
 * @param candidates 候选集
 * @param target 目标值
 * @return 结果
 */
public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
    // 这个排序时必须的，用于去重
    Arrays.sort(candidates);
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    // 核心算法
    backtrack(results, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
    return results;
}

/**
 * 回溯算法
 * @param results 结果
 * @param tempList 临时列表
 * @param candidates 候选数组
 * @param remain 剩余值
 * @param begin 开始索引
 * @since v40
 */
private void backtrack(List<List<Integer>> results, List<Integer> tempList,
                       int[] candidates, int remain, int begin) {
    if(remain < 0) {
        return;
    } else if(remain == 0) {
        results.add(new ArrayList<>(tempList));
    } else {
        // 核心处理
        for(int i = begin; i < candidates.length; i++) {
            // 如何跳过重复的信息
            if(i > begin && candidates[i] == candidates[i-1]) {
                continue;
            }
            int current = candidates[i];
            tempList.add(current);
            backtrack(results, tempList, candidates, remain-current, i+1);
            tempList.remove(tempList.size()-1);
        }
    }
}

参考资料

https://leetcode.com/problems/combination-sum/discuss/16502/A-general-approach-to-backtracking-questions-in-Java-(Subsets-Permutations-Combination-Sum-Palindrome-Partitioning)

https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/solution/hui-su-suan-fa-jian-zhi-python-dai-ma-java-dai-m-2/