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什么是扫描线算法？

扫描线算法（Sweep Line Algorithm）是一种常用于解决几何问题（尤其是涉及区间、时间线或事件的重叠问题）的算法。

它的基本思想是“模拟一条扫描线从一个方向扫过所有事件”，在扫描过程中维护一个数据结构来追踪当前的状态（例如活动区间的数量、最小值、最大值等）。

扫描线算法的基本步骤

  1. 事件表示：每个问题中的区间（例如会议时间）或事件，都可以转化为若干个关键事件（例如开始时间和结束时间）。

  2. 事件排序：将所有事件按照时间排序（如果时间相同，则根据事件的类型来排序，例如结束事件优先于开始事件）。

  3. 扫描过程：从最早的事件开始，按照排序顺序逐一处理每个事件，并在处理每个事件时更新状态（例如活动会议的数量、最大活动时间等）。

  4. 数据维护：根据事件类型，更新当前的活动状态。例如，遇到一个开始事件时，我们增加一个计数，遇到结束事件时，减少计数，或者更新其他需要维护的值。

  5. 输出结果：在扫描过程中，根据需求输出解答。

应用场景

扫描线算法广泛应用于处理各种区间问题，典型的应用包括：

  • 会议安排（检测会议时间是否有重叠）
  • 区间覆盖问题（检查是否有足够的资源覆盖所有区间）
  • 计算最大并发数（计算在某一时间点活跃的事件数量，如计算最多同时存在的会议数）
  • 凸包问题（计算一个点集的最小凸包）

扫描线算法的具体步骤

1. 事件表示与排序

假设我们有若干个区间（如会议的开始时间和结束时间），我们首先将每个区间拆解为两个事件：

一个是开始事件，另一个是结束事件。

每个事件可以表示为一个元组 (time, type)，其中 time 表示事件发生的时间，type 可以是 +1（表示开始）或者 -1（表示结束）。

例如，会议区间 [(5, 10), (8, 12), (13, 16)] 可以拆解为事件：

[(5, +1), (10, -1), (8, +1), (12, -1), (13, +1), (16, -1)]

事件按时间排序。如果有多个事件发生在相同的时间点，则优先处理结束事件，因为结束事件可以使得下一个开始事件得以处理。

2. 事件扫描与状态更新

扫描线的核心是对事件的处理。在扫描线遍历时，我们保持一个计数器（或其他数据结构）来跟踪当前的活动状态。对于会议安排问题，我们使用一个计数器来记录当前同时进行的会议数量。

  • 当遇到一个 开始事件（+1），增加计数器，表示新的会议开始。
  • 当遇到一个 结束事件（-1），减少计数器，表示一个会议结束。

3. 结果输出

在扫描过程中，我们可以输出每个时间点的活动状态。例如，我们可以在每次更新计数器时，检查当前同时进行的会议数，或者记录最大会议数等。

例子：检测会议是否有重叠

假设我们有一组会议的时间区间，使用扫描线算法来判断是否所有会议都能参加。

给定的会议区间：[[0, 30], [5, 10], [15, 20]]

1. 拆解事件

我们将每个会议区间拆解成开始事件和结束事件：

[(0, +1), (30, -1), (5, +1), (10, -1), (15, +1), (20, -1)]

2. 事件排序

按时间排序事件，时间相同的情况下优先处理结束事件：

[(0, +1), (5, +1), (10, -1), (15, +1), (20, -1), (30, -1)]

3. 扫描事件并更新状态

我们从第一个事件开始，逐一扫描：

  • 在时间 0 处，遇到开始事件 +1，活动会议数增加到 1。
  • 在时间 5 处，遇到开始事件 +1，活动会议数增加到 2，说明此时有两个会议重叠。
  • 在时间 10 处，遇到结束事件 -1，活动会议数减少到 1。
  • 在时间 15 处，遇到开始事件 +1，活动会议数增加到 2，说明此时又有两个会议重叠。
  • 在时间 20 处，遇到结束事件 -1，活动会议数减少到 1。
  • 在时间 30 处，遇到结束事件 -1，活动会议数减少到 0。

4. 判断是否有重叠

在扫描过程中，我们发现活动会议数有过大于 1 的情况（特别是在时间 5 和时间 15），因此有重叠会议，返回 false。

扫描线算法的优势

  1. 时间复杂度：事件排序的时间复杂度是 O(n log n)，其中 n 是会议数或事件数。扫描线的遍历时间复杂度是 O(n)。因此，整体时间复杂度是 O(n log n)，比暴力算法（O(n^2)）要高效得多。

  2. 空间复杂度：需要存储所有事件，空间复杂度为 O(n)。

  3. 易于扩展：扫描线算法可以很容易地适应更多的需求，例如统计某一时刻活动的最大数量、求得活动的区间并进行其他计算等。

扩展应用

  • 最大并发活动数：通过扫描线算法，我们可以轻松地计算在某个时刻同时进行的最多会议数（即最大并发数）。
  • 区间合并：我们还可以通过扫描线算法来合并重叠的区间。
  • 区间覆盖：检查一组区间是否能完全覆盖一个目标区间等。

总结

扫描线算法是一种非常强大且高效的算法，尤其适用于处理与区间重叠、事件排序相关的几何问题。

在许多情况下，它比暴力算法要高效得多，尤其是在数据量大的时候，能够显著减少计算的复杂度。

参考资料

https://leetcode.cn/problems/4sum/